粘性解

数学中，粘性解是20世纪80年代早期由皮埃爾-路易·利翁和Michael G. Crandall作为对偏微分方程（PDE）经典解的扩展而引入的。粘性解在PDE的许多应用中作为解是非常自然的，例如优化控制中的一阶偏微分方程（哈密顿-雅可比-贝尔曼方程），微分对策中（Hamilton–Jacobi–Isaacs equation），前端演化问题（front evolution problem）^[1]，还有二阶方程，例如在随机优化控制或随机微分博弈（stochastic differential game）中出现的。

经典的概念是在域${\displaystyle x\in \Omega }$中PDE

${\displaystyle H(x,u,Du)=0}$

有解，如果能找到在整个域上连续且可微的函数u(x)，使得x, u和Du（u的微分）在每个点都满足上面的等式。

在粘性解的意义下，u不需要在每个点都可微。可能在有些点上Du不存在，即u中存在扭结（kink）但u在适当意义下满足等式。虽然在某个点上Du可能不存在，但可以使用下面定义的上微分（superdifferential）${\displaystyle D^{+}u}$和下微分（subdifferential）${\displaystyle D^{-}u}$代替。

定义1. ${\displaystyle D^{+}u(x_{0})=\left\{p:\limsup _{x_{1}\rightarrow x_{0}}{\frac {u(x_{1})-u(x_{0})-p(x_{1}-x_{0})}{|x_{1}-x_{0}|}}\leq 0\right\}}$

定义2. ${\displaystyle D^{-}u(x_{0})=\left\{p:\liminf _{x_{1}\rightarrow x_{0}}{\frac {u(x_{1})-u(x_{0})-p(x_{1}-x_{0})}{|x_{1}-x_{0}|}}\geq 0\right\}}$

一般地，集合${\displaystyle \,D^{+}u\,}$中的每个${\displaystyle \,p\,}$是${\displaystyle \,u\,}$在${\displaystyle \,x_{0}\,}$"斜率"（slope）的一个上界，集合${\displaystyle \,D^{-}u\,}$中每个${\displaystyle \,p\,}$是${\displaystyle \,u\,}$在${\displaystyle \,x_{0}\,}$"斜率"（slope）的一个下界。

定义3. 连续函数u是上面PDE的一个粘性上解（viscosity subsolution），如果满足

${\displaystyle H(x,u(x),p)\leq 0,\forall x\in \Omega ,\forall p\in D^{+}u(x)}$

定义4. 连续函数u是上面PDE的一个粘性下解（viscosity supersolution），如果满足

${\displaystyle H(x,u(x),p)\geq 0,\forall x\in \Omega ,\forall p\in D^{-}u(x)}$。

定义5.连续函数u是PDE的一个粘性解如果它既是粘性上解又是粘性下解。

粘性解存在不需引入上（下）微分概念的等价定义，见Fleming与Soner书^[2]中的第II.4节。

参考文献

1. I. Dolcetta and P. Lions, eds.,（1995）, Viscosity Solutions and Applications. Springer, ISBN 978-3-540-62910-8.
2. Wendell H. Fleming, H. M . Soner., eds.,（2006）, Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions. Springer, ISBN 978-0387-260457.