米迪定理, 說明如果将a, displaystyle, frac, 化为b进制小数, 其中p为质数, a是小于p的正整数, 且小数的循环节长度是偶数, 则有以下性质, 若將這個分數用循環小數寫成0, displaystyle, overline, displaystyle, displaystyle, dots, dots, 這個定理還可再推廣为广义, 若把长度2n的循环节划分为长度为k的2, displaystyle, frac, 个组, 即0, displaystyle, overline, cdots, cd. 米迪定理說明如果将a p displaystyle frac a p 化为b进制小数 其中p为质数 a是小于p的正整数 且小数的循环节长度是偶数 注 1 则有以下性质 若將這個分數用循環小數寫成0 a 1 a 2 a 3 a n a n 1 a 2 n displaystyle 0 overline a 1 a 2 a 3 a n a n 1 a 2n 则 a i a i n b 1 displaystyle a i a i n b 1 a 1 a n a n 1 a 2 n b n 1 displaystyle a 1 dots a n a n 1 dots a 2n b n 1 這個定理還可再推廣为广义米迪定理 若把长度2n的循环节划分为长度为k的2 n k displaystyle frac 2n k 个组 即0 a 1 a 2 a k a k 1 a 2 k a 2 n k 1 a 2 n k 2 a 2 n displaystyle 0 overline a 1 a 2 cdots a k a k 1 cdots a 2k cdots a 2n k 1 a 2n k 2 cdots a 2n 则a 1 a 2 a k a k 1 a k 2 a 2 k a 2 n k 1 a l k 2 a 2 n displaystyle a 1 a 2 a k a k 1 a k 2 a 2k a 2n k 1 a l k 2 a 2n 是b k 1 displaystyle b k 1 的倍數 目录 1 例 2 定理的证明 3 参考资料 4 外部链接例 编辑1 17 0 0588235294117647 displaystyle frac 1 17 0 overline 0588235294117647 10进制 循环节长度是16 是偶数 可应用米迪定理 0 9 10 1 5 4 10 1 8 1 10 1 05882352 94117647 10 8 1 displaystyle 05882352 94117647 10 8 1 1 19 0 052631578947368421 displaystyle frac 1 19 0 overline 052631578947368421 10进制 循环节长度是18 是偶数 可应用米迪定理 0 9 10 1 5 4 10 1 2 7 10 1 052631578 947368421 10 9 1 displaystyle 052631578 947368421 10 9 1 052631 578947 368421 10 6 1 displaystyle 052631 578947 368421 10 6 1 广义米迪定理 k 6 052 631 578 947 368 421 2997 3 10 3 1 displaystyle 052 631 578 947 368 421 2997 3 times 10 3 1 广义米迪定理 k 3 1 19 0 032745 8 displaystyle frac 1 19 0 overline 032745 8 032 8 745 8 777 8 displaystyle 032 8 745 8 777 8 03 8 27 8 45 8 77 8 displaystyle 03 8 27 8 45 8 77 8 定理的证明 编辑米迪定理可以用群论中的结果来证明 然而 也可以用算术和同余来证明米迪定理 设p为素数 a p是0与1之间的分数 假设在b进制中 a p的展开式的周期为l 所以 a p 0 a 1 a 2 a l b displaystyle frac a p 0 overline a 1 a 2 dots a l b a p b l a 1 a 2 a l a 1 a 2 a l b displaystyle Rightarrow frac a p b l a 1 a 2 dots a l overline a 1 a 2 dots a l b a p b l N 0 a 1 a 2 a l b N a p displaystyle Rightarrow frac a p b l N 0 overline a 1 a 2 dots a l b N frac a p a p N b l 1 displaystyle Rightarrow frac a p frac N b l 1 其中N是在b进制中的展开式为a1a2 al的整数 因为a p b l 1 N displaystyle frac a p b l 1 N 且N为整数 所以b l 1 displaystyle b l 1 必为p的倍数 另外 对于任何小于l的n bn 1都不是p的倍数 否则在b进制中a p的周期将小于l 这是不可能的 现在 假设l hk 那么bl 1是bk 1的倍数 设bl 1 m bk 1 因此 a p N m b k 1 displaystyle frac a p frac N m b k 1 但bl 1是p的倍数 bk 1不是p的倍数 因为k小于l 且p是素数 因此m一定是p的倍数 且 a m p N b k 1 displaystyle frac am p frac N b k 1 是整数 也就是说 N 0 mod b k 1 displaystyle N equiv 0 pmod b k 1 现在 把a1a2 al分成h个长度为k的部分 并设它们在b进制中表示N0 Nh 1 所以 N h 1 a 1 a k b displaystyle N h 1 a 1 dots a k b N h 2 a k 1 a 2 k b displaystyle N h 2 a k 1 dots a 2k b displaystyle displaystyle N 0 a l k 1 a l b displaystyle N 0 a l k 1 dots a l b 为了证明b进制中广义的米迪定理 我们必须证明h个整数Ni的和是bk 1的倍数 由于bk被bk 1除余1 任何bk的幂被bk 1除也余1 因此 N i 0 h 1 N i b i k i 0 h 1 N i b k i displaystyle N sum i 0 h 1 N i b ik sum i 0 h 1 N i b k i N i 0 h 1 N i mod b k 1 displaystyle Rightarrow N equiv sum i 0 h 1 N i pmod b k 1 i 0 h 1 N i 0 mod b k 1 displaystyle Rightarrow sum i 0 h 1 N i equiv 0 pmod b k 1 这就证明了b进制中广义的米迪定理 为了证明原先的米迪定理 取h 2的特殊情况 注意N0和N1在b进制中都由k个数字表示 所以都满足 0 N i b k 1 displaystyle 0 leq N i leq b k 1 N0和N1不能都等于0 否则a p 0 也不能都等于bk 1 否则a p 1 因此 0 lt N 0 N 1 lt 2 b k 1 displaystyle 0 lt N 0 N 1 lt 2 b k 1 由于N0 N1是bk 1的倍数 所以有 N 0 N 1 b k 1 displaystyle N 0 N 1 b k 1 参考资料 编辑 有些质数的循环节长度是奇数 如3 31 William G Leavitt A THEOREM ON REPEATING DECIMALS The American Mathematical Monthly 1967年6月 74 6 669 673 2014 12 29 原始内容存档于2018 07 23 外部链接 编辑埃里克 韦斯坦因 Midy s Theorem MathWorld 取自 https zh wikipedia org w index php title 米迪定理 amp oldid 70052474, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,