稀疏网格

稀疏网格是表示、积分或插值高维函数的数值计算技术。最初是由俄罗斯数学家Sergey A. Smolyak （Lazar Lyusternik的学生）基于稀疏张量积构造发展。高效实现此类网格的计算机算法后来由Michael Griebel和Christoph Zenger 开发。

维度诅咒

表示多维函数的标准方式是采用张量或完全网格。故用于存储、运算的基函数或节点的数量与维数指数增加。即使以今天的计算能力，也不可能处理超过 4 或 5 维的函数。^{[來源請求]}

维度诅咒可以表示为使用${\displaystyle N_{l}}$ 个格点进行${\displaystyle l}$ 阶积分积分误差。若函数的正则性为${\displaystyle r}$ ，即${\displaystyle r}$ 次可微，维数为${\displaystyle d}$ ，则

${\displaystyle |E_{l}|=O(N_{l}^{-{\frac {r}{d}}})}$ 

Smolyak求积法则

Smolyak 发现了基于单变量求积规则${\displaystyle Q^{(1)}}$ 的计算上更为高效的多维函数积分方法。对${\displaystyle d}$ 维函数${\displaystyle f}$ ，Smolyak积分${\displaystyle Q^{(d)}}$ 一个函数的可以写成具有张量积的递归公式：

${\displaystyle Q_{l}^{(d)}f=\left(\sum _{i=1}^{l}\left(Q_{i}^{(1)}-Q_{i-1}^{(1)}\right)\otimes Q_{l-i+1}^{(d-1)}\right)f}$ 

${\displaystyle Q}$ 的下标是离散化的水平，我们不妨令一维${\displaystyle i}$ 阶的积分要对${\displaystyle O(2^{i})}$ 个点求值。^[1]正则性为${\displaystyle r}$ 的函数的误差估计是：

${\displaystyle |E_{l}|=O\left(N_{l}^{-r}\left(\log N_{l}\right)^{(d-1)(r+1)}\right)}$ 

延伸阅读

• Brumm, J.; Scheidegger, S. Using Adaptive Sparse Grids to Solve High-Dimensional Dynamic Models. Econometrica. 2017, 85 (5): 1575–1612. doi:10.3982/ECTA12216. 
• Garcke, Jochen. Garcke, Jochen; Griebel, Michael , 编. (PDF). Springer. 2012: 57–80 [2022-01-07]. ISBN 978-3-642-31702-6. （原始内容 (PDF)存档于2022-01-07）. 
• Zenger, Christoph. Hackbusch, Wolfgang , 编. (PDF). Vieweg. 1991: 241–251 [2022-01-07]. ISBN 3-528-07631-3. （原始内容 (PDF)存档于2022-01-22）. 

外部链接

• 一种用于常规稀疏网格的高效内存数据结构 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 稀疏网格上的有限差分格式 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 稀疏网格上的数据挖掘，J.Garcke、M.Griebel (pdf) （页面存档备份，存于互联网档案馆）

1. . sparsegrids.org. [2022-01-10]. （原始内容存档于2022-01-10）.