磁通量

磁通量，符號為 ${\displaystyle \Phi _{B}}$，是通過某给定曲面的磁場（亦称为磁通量密度）的大小的度量。磁通量的国际单位制單位是韦伯。

描述

给定曲面上的磁通量大小与通过曲面的磁場線的个数成正比。此处磁场线的个数是个“净”数量，即从一个方向上通过的个数减去另一个方向上通过的个数。当一个均匀磁场垂直通过一个平面，磁通量即是磁场与该平面面积的乘积。当均匀磁场${\displaystyle \mathbf {B} }$ 以任意角度通过一个平面，磁通量即是磁场与该平面面积${\displaystyle \mathbf {a} }$ 的点积。^[1]

${\displaystyle \displaystyle \Phi _{B}=\mathbf {B} \cdot \mathbf {a} =Ba\cos \theta }$    

其中，${\displaystyle \theta }$ 是磁场${\displaystyle \mathbf {B} }$ 和平面面积法向量${\displaystyle \mathbf {a} }$ 的夹角.

 

图1：曲面积分的定义基于将曲面分割成小的曲面元。每个曲面元对应一个向量${\displaystyle d\mathbf {S} }$ 。该向量的大小即曲面元的面积，方向为指向外部的法向量。

 

图2：曲面法向量的向量場。

在一般情况下，磁通量是通过磁場在曲面面积上的积分定義的（见图1和图2）。

${\displaystyle \Phi _{B}=\iint \limits _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }$ 

其中，${\displaystyle \Phi _{B}\ }$ 為磁通量，${\displaystyle \mathbf {B} }$ 為磁感應強度，${\displaystyle S}$ 为曲面，${\displaystyle \cdot }$ 为点积，${\displaystyle d\mathbf {S} }$ 为无穷小向量（见曲面积分）。

磁通量通常通过通量计进行测量。通量计包括测量线圈以及估计测量线圈上电压变化的电路，从而计算磁通量。

通过闭曲面的磁通量

主条目：高斯磁定律

高斯磁定律是四條麥克斯韋方程之一，指出通過一闭曲面的磁通量為零。這定律是依据还没有发现磁單極这一经验得出的。

高斯磁定律為，对任意闭曲面：

${\displaystyle \Phi _{B}=\int \!\!\!\int \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =0,}$ 

通过开曲面的磁通量

主条目：法拉第电磁感应定律

 

图3：空间中的向量场F ( r, t )以及曲面Σ。∂Σ为曲面Σ的边界，以速度v运动。考虑向量场在曲线∂Σ上的积分。

即使通过闭曲面的磁通量是零，通过开曲面的磁通量可以不是零，而且，它是电磁学中一个重要的物理量。例如，当通過一个導電线环的磁通量发生变化，这一变化會引起電動勢的生成，並因此在线环中產生電流。其關係式可由法拉第電磁感應定律得出：

${\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\mathbf {v\times B} (\mathbf {r} ,\ t)\right)\cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-{d\Phi _{B} \over dt},}$ 

其中（见图3）：

${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ 为電動勢

${\displaystyle \Phi _{B}}$ 为通过开曲面的磁通量，这一开曲面的边界为${\displaystyle \partial \Sigma (t)}$ 

${\displaystyle \partial \Sigma (t)}$ 为一个随时间变化的闭曲线

${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}$ 是边界${\displaystyle \partial \Sigma (t)}$ 无穷小向量元

${\displaystyle \mathbf {v} }$ 是线段${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}$ 的速度

${\displaystyle \mathbf {E} }$ 为电场

${\displaystyle \mathbf {B} }$ 为磁场

在上述公式中，电动势的生成可以有两种解释：由洛伦兹力引起的电荷在闭合曲线${\displaystyle \partial \Sigma (t)}$ 上的运动；通过开曲面${\displaystyle \Sigma (t)}$ 的磁通量。这一公式即是發電機的原理。

与电通量的比较

主条目：电通量和高斯定律

麥克斯韋方程中的高斯電場定律為：

${\displaystyle \Phi _{E}=\int \!\!\!\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={Q \over \epsilon _{0}},}$ 

其中

${\displaystyle \mathbf {E} }$ 為電場

${\displaystyle S}$ 為任意闭曲面

${\displaystyle Q}$ 为曲面${\displaystyle S}$ 包围的电荷

${\displaystyle \epsilon _{0}}$ 為真空電容率。

注意，通过闭曲面的${\displaystyle \mathbf {E} }$ 的通量“并不总是”零，這指出了電“單極”的存在，即自由的正負電荷。

参考文献

1. Douglas C Giancoli. Physics for scientists & engineers : with modern physics. 培生集團. 2009: 第760頁. ISBN 0131578499. 

外部链接

• Vicci, 美國專利第6,720,855号：磁通量導管（專利）

參見

•  物理学主题

• 磁場：代表磁力線的密度。
• 麥克斯韋方程組：是一組四條偏微分方程式，被詹姆斯·麥克斯韋用作描述電場和磁場，以及它們與物質之間的相互作用。
• 高斯定律：給出從一密閉表面流出的電通量及表面圈住的電荷之間的關係式。
• 磁單極：是一種大概能不嚴謹地被形容為「只有單極的磁鐵」的理論粒子。
• 磁通量量子：是流經超導體的磁通量的量子。
• 卡爾·高斯：跟物理教授威廉·韋伯的合作發展出成果豐碩的研究；它使得磁學領域得到了新知識。
• 詹姆斯·麥克斯韋：證明了電力和磁力是電磁的兩個互補層面。
• 法拉第弔詭：關於法拉第電磁感應定律的弔詭。