環狀質數

環狀質數（英語：Circular prime）是在環狀排列後仍然是質數的質數^[1][2]。例如1193本身是質數，而其環狀排列後，產生的1931、9311及3119都是質數，因此1193是環狀質數^[3]。考慮十進位的環狀質數，若超過一位數的環狀質數，只會由1、3、7、9四個數字組成，因為其中若有偶數，偶數排到個位數時，該數可被2整除，不是質數，若其中有0或5，排到個位數時，該數可被5整除，也不是質數^[1][4]。

環狀質數

19937環狀排列後產生的數。將最高位數移除，放到剩下數字的右邊，一直到還原成原來數字為止。其中每一個數都是質數，因此19937是環狀質數。
得名自	環狀，圓形
發表年份	2004
發表者	Darling, D. J.
已知項數	27
首項	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 37, 79, 113, 197, 199
已知最大項	(10^270343-1)/9
OEIS編號	A016114 Circular primes（在環狀排列後仍維持質數的數）

目前所有已知環狀質數，各自循環中的質數完整列表示如下（所有一位數的質數，以及純元數，其循環中只有一個質數）：

2、3、5、7、R₂、13、17、37、79、113、197、199、337、1193、3779、11939、19937、193939、199933、R₁₉、R₂₃、R₃₁₇、R₁₀₃₁、R₄₉₀₈₁、R₈₆₄₅₃、R₁₀₉₂₉₇及R₂₇₀₃₄₃

其中R_n是 n位數的純元數。

在小於10²³的數字中沒有其他的環狀質數^[3]。

可交换素数是和環狀質數有關的質數，環狀質數是可交换素数的子集合（所有環狀質數都是可交换素数，但不是每個可交换素数都是環狀質數）^[3]。

其他進制

在十二进制下，目前所有已知環狀質數，各自循環中的質數完整列表示如下（用A及B表示十進制的10和11）：

2, 3, 5, 7, B, R₂, 15, 57, 5B, R₃, 117, 11B, 175, 1B7, 157B, 555B, R₅, 115B77, R₁₇, R₈₁, R₉₁, R₂₂₅, R₂₅₅, R_4A5, R₅₇₇₇, R_879B, R_198B1, R₂₃₁₇₅, and R₃₁₁₄₀₇.

其中R_n是十二進制的純元數。

十二进制下，沒有其他小於12¹²的環狀質數

在二进制下，只有梅森素数（二进制下的純元數）會是環狀質數。因為其中只要有任何一位為0，此循環到最小位數，結果就會是偶數。

參考資料

1. The Universal Book of Mathematics, Darling, David J.: 70, [25 July 2010], （原始内容于2015-03-18） 
2. Prime Numbers—The Most Mysterious Figures in Math, Wells, D.: 47 (page 28 of the book), [27 July 2010], （原始内容于2011-07-21） 
3. Circular Primes, Patrick De Geest, [25 July 2010], （原始内容于2010-04-04） 
4. The mathematics of Oz: mental gymnastics from beyond the edge, Pickover, Clifford A.: 330, [9 March 2011], （原始内容于2013-04-30）