潘勒韦分析

潘勒韦分析原是保罗·潘勒韦在1895年关于非线性常微分方程可积性的理论，后经数学家推广到分析非线性偏微分方程中，并发展出几种程序，常见的有Ablowitz-Ramani-Segur(ARS)程序、Weiss-Tabor-Carnevale(WTC)程序和Kruskal简化法等。潘勒韦分析的过程复杂，需借助Maple、Mathematica等计算机代数系统进行运算^[1]

Kruskal 简化法原理

对于给定的 偏微分方程

 ${\displaystyle F(u_{x},u_{t},u_{xx},\cdot \cdot \cdot )=0;}$  

假设其解可展开为Laurent级数形式：

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{k=0}^{\infty }(u[j](t)*\phi ^{j},j=0..N))/\phi ^{\rho }}$ 

设定方程解的首项目可以表示为

${\displaystyle u}$ ≈${\displaystyle \psi ^{-\rho }*u_{0}}$ 

代人原式，平衡φ的幂次，得到一个含共振点的递推关系，如果对于任意的u(j)、φ，此递推关系是自相容的，则原来的方程是可积的。

实例

伯格斯方程的潘勒韦分析

${\displaystyle sys:={\frac {\partial u(x,t)}{\partial t}}+au(x,t){\frac {\partial u(x,t)}{\partial x}}+b{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}=0}$ 

作Laurent级数展开

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{k=0}^{\infty }(u[j](t)\phi ^{j},j=0..N))/\phi ^{\rho }}$ 

其中${\displaystyle \phi =x-\psi (t)}$  和 ${\displaystyle u_{j}=u_{j}(t)}$  是非特征奇异点流型${\displaystyle x-\psi (t)=0}$  和 u[0]≠0附近的解析函数。

设定方程解的首项可以表示为

${\displaystyle u}$ ≈${\displaystyle \psi ^{-\rho }u_{0}}$ 

代人原式，得到

${\displaystyle \rho \phi u[0]\psi [t]}$ ${\displaystyle -\phi ^{-\rho +1}u[0]^{2}\rho a-\rho (-b-b\rho )u[0]+\phi ^{2}u[0,t]=0}$ 

平衡最高阶微商与非线性项，得到：

ρ=1，u[0] = 2 b/a；

将 ${\displaystyle u(x,t)=2*b/(a*(x-\psi ))+u[j]*(x-\psi )^{(}j-1)}$  代人偏微分方程，

φ的最低次项为

${\displaystyle \phi ^{j-3}*b*(j+1)*(j-2)=0}$ 

代入伯格斯方程，

因此 j=-1,2

取 ${\displaystyle u(x,t)=\sum _{k=0}^{2}{\frac {u[j](t)\phi ^{j})}{\phi }}}$  再带入原方程得：

${\displaystyle a*\phi ^{4}*u[2]^{2}-(-u[1]*a+\psi [t])*\phi ^{3}*u[2]+\phi ^{4}*u[2,t]+\phi ^{3}*u[1,t]+\phi ^{2}*u[0,t]+(-u[1]*a+\psi [t])*u[0]*\phi -u[0]^{2}*a+2*b*u[0]}$ 

整理后，令其φ 的2次、1次，及常数项为零 得到一组多项式方程组：

${\displaystyle u[0,t]=0,-(u[1]*a-\psi [t])*u[0]=0,-u[0]*(-2*b+a*u[0])}$ 

伯格斯方程通过潘勒韦测试的条件是 在截短短展开式中，φ、u[2] 是任意函数。

经过一系列运算可知 u[2],φ为任意函数，伯格斯方程乃潘勒韦可积，其解有如下形式：

${\displaystyle u(x,t)={\frac {2*b}{a*(x-\psi )}}+{\frac {\psi [t]}{a}}+(x-\psi )*u[2]}$ 

参考文献

1. Inna Shingareva, Carlos Lizarrraga-Celyaya Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Mathematica, SpringerWienNewYork