消失矩

消失矩(Vanishing Moments)，在連續小波變換(Continuous Wavelet Transform)，是一項非常重要的參數，用來檢視母小波(Mother wavelet)是否為高頻的函數。

Vanish moment 越高，經過內積後被濾掉的低頻成分越多

在實務上，Vanish moment=5

由來

在連續小波變換中，母小波有4個主要限制如下。

1. 有值區間必須是有限的(Compact Support):

母小波不能是一個無限長的函數。

2. 必須是實函數(Real) :

因為要處理的影像不會是複數信號，且為了方便計算。

3. 偶對稱(Even Symmetric)或是奇對稱(Odd Symmetric)

4. 消失矩越高越好:

這項是最難滿足的一項。

5.

Admissibility Criterion 要存在才存在反小波轉換

定義

首先定義第 ${\displaystyle k}$  個動量( ${\displaystyle k_{th}}$  moment):

${\displaystyle m_{k}=\int t^{k}\psi (t)\,dt}$  

若 ${\displaystyle m_{0}=m_{1}=m_{2}=...=m_{p-1}=0}$ ，

則我們說 ${\displaystyle \psi (t)}$  有 ${\displaystyle p}$  個消失矩。

如何計算消失矩

我們可以看到 ${\displaystyle m_{k}=\int t^{k}\psi (t)\,dt}$  不太好計算，尤其是 ${\displaystyle k}$  很大的時候。

此時，可以善用傅立葉轉換來進行計算。

計算第0個動量

首先，觀察傅立葉轉換的公式:

${\displaystyle G(f)=\int g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt}$  

當令${\displaystyle f=0}$ 時，可以看到以上公式變成:

${\displaystyle G(0)=\int g(t)\,dt}$  

正是第0個動量 ${\displaystyle m_{0}}$ 。

因此，若要計算 ${\displaystyle g(t)}$  的第0個動量，可以先計算 ${\displaystyle g(t)}$  的傅立葉轉換，再取直流項(也就是 ${\displaystyle f=0}$  )。

計算第k個動量

我們可以同樣利用傅立葉轉換來計算第 ${\displaystyle k}$  個動量。

首先，傅立葉轉換有一個性質: 在頻域微分 ${\displaystyle k}$  次，就相當於時域乘上 ${\displaystyle t^{k}}$  :

${\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(f)=\int t^{k}g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt}$  

當令${\displaystyle f=0}$ 時，可以看到以上公式變成:

${\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt}$  

正是第 ${\displaystyle k}$  個動量 ${\displaystyle m_{k}}$ 。

因此，若要計算 ${\displaystyle g(t)}$  的第k個動量，可以先計算 ${\displaystyle g(t)}$  的傅立葉轉換的k次微分，再取直流項(也就是 ${\displaystyle f=0}$  )。

一些常用函數的消失矩

分成兩類連續函數與連續函數的離散係數

• 連續函數:哈爾基底、墨西哥帽函數
• 連續函數的離散係數:多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet

連續函數

哈爾小波轉換是最簡單的一種小波轉換，使用哈爾基底(Haar Basis)來做母小波。

而墨西哥帽函數(Mexican hat function)也常被用來當母小波。

哈爾基底

哈爾基底的數學表示式如下:

${\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1/2,\\-1&1/2\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$  

${\displaystyle \psi (t)}$  是一個奇函數，所以

${\displaystyle m_{0}=\int \psi (t)\,dt=0}$  

但 ${\displaystyle t\psi (t)}$  是偶函數，所以

${\displaystyle m_{1}=\int t\psi (t)\,dt\neq 0}$  

因此，哈爾基底的消失矩為1。

墨西哥帽函數

墨西哥帽函數的數學表示式:

${\displaystyle \psi (t)={\frac {2^{5/4}}{\sqrt {3}}}(1-2\pi t^{2})e^{-\pi t^{2}}}$  

仔細觀察，${\displaystyle \psi (t)}$  其實是高斯函數的二次微分:

${\displaystyle \psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}},C=}$  常數。 

而高斯函數做傅立葉轉換仍是高斯函數:

${\displaystyle \psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}}\to -C4\pi ^{2}f^{2}e^{-\pi f^{2}}}$ 。 

利用

${\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt}$  

可以算出

${\displaystyle m_{0}=m_{1}=0,m_{2}\neq 0}$ 。 

所以墨西哥帽函數的消失矩為2。

高斯函數的p次微分

墨西哥帽函數是高斯函數的二次微分，所以消失矩為2。

當

${\displaystyle \psi (t)={\frac {d^{p}}{dt^{p}}}e^{-\pi t^{2}}}$  

其傅立葉轉換為

${\displaystyle (j2\pi f)^{p}e^{-\pi f^{2}}}$ 。 

利用

${\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt}$  

可以算出

${\displaystyle m_{0}=m_{1}=m_{p-1},m_{p}\neq 0}$ 。 

所以高斯函數p次微分的消失矩為p。

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連續函數的離散係數

多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet都是一些常用的離散小波，而且都是由連續小波的離散係數推導而來。

且這三種都是orthonormal filters

多貝西小波

${\displaystyle 2n}$  點的多貝西小波，消失矩 ${\displaystyle =n}$  

Symlet

${\displaystyle 2n}$  點的Symlet，消失矩 ${\displaystyle =n}$  

Coiflet

${\displaystyle 6n}$  點的Coiflet，消失矩 ${\displaystyle =n}$  

三者的比較

1. Symlet和多貝西小波非常類似，但是比多貝西小波還要對稱。
2. Coiflet 在scaling function 存在 vanish moment.

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\phi (t)\,dt\neq 0}$ 

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }t^{k}\phi (t)\,dt=0for1\leq k\leq p}$ 

消失矩對於函數的意義

消失矩是用以判斷一個函數如何遞減的指標。舉例來說，對於函數

${\displaystyle f(t)={\frac {\sin(t)}{t^{2}}}}$  

當輸入值${\displaystyle t}$ 逐漸往無限大增加時，此函數會以${\displaystyle {\frac {1}{t^{2}}}}$ 的速率遞減。 我們可用利用定義中的動量積分式${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{k}f(t)\,dt}$ 來評估此函數的遞減速率。

回到此範例中的函數，當${\displaystyle k=0}$ 時，由於分子${\displaystyle \sin(t)}$ 會在${\displaystyle [-1,1]}$ 之間震盪，使得整個函數在${\displaystyle [-{\frac {1}{t^{2}}},{\frac {1}{t^{2}}}]}$ 震盪。

此性質使得${\displaystyle k=0}$ 時，

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{k}({\frac {\sin(t)}{t^{2}}})\,dt\to 0}$  

函數積分式必定會收斂於0，代表第0個動量${\displaystyle m_{0}=0}$ 

當${\displaystyle k=1}$ 時，

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{k}({\frac {\sin(t)}{t}})\,dt=\pi }$  

因此第1個動量${\displaystyle m_{1}=\pi \neq 0}$ 

對於${\displaystyle k>1}$ 的情況，動量積分式均會隨著${\displaystyle t\to \infty }$ 而發散。

由以上的範例，我們可藉由能夠讓動量積分式收斂為0的最大${\displaystyle k}$ 值來判斷函數的遞減速率，而此最大${\displaystyle k}$ 值便是函數的消失矩。

在連續小波轉換中，設計母小波的其中一個條件是有值區間比須是有限的，而母小波在有值區間內如何遞減的特性，則可由消失矩來描述。

消失矩的等價敘述

依照定義，小波母函數${\displaystyle \psi (t)}$ 有 ${\displaystyle p}$  個消失矩的條件為

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{k}\psi (t)\,dt=0,\ for\ 0\leq k<p}$  

然而由於此定義中包含了一個無限範圍的連續積分，因此在設計小波母函數上並不實用。

若定義小波轉換中的尺度函數為${\displaystyle \varphi (t)}$ ，當以下小波母函數和尺度函數的關係成立時，

${\displaystyle \left|\psi (t)\right|=O((1+t^{2})^{-p/2-1})}$  

${\displaystyle \left|\varphi (t)\right|=O((1+t^{2})^{-p/2-1})}$  

下列四項敘述便是等價的：

1. 小波母函數${\displaystyle \psi (t)}$ 有${\displaystyle p}$ 個消失矩。

2. ${\displaystyle \psi (t),\ \varphi (t)}$ 的傅立葉轉換，以及前${\displaystyle p-1}$ 次微分在${\displaystyle \omega =0}$ 處均為零。

3. ${\displaystyle h_{\varphi }(t),\ H_{\varphi }(e^{j\omega })}$ 的傅立葉轉換，以及前${\displaystyle p-1}$ 次微分在${\displaystyle \omega =0}$ 處均為零。

4. 對於${\displaystyle 0\leq k<p}$  區間內的任意${\displaystyle k}$ 值

${\displaystyle q_{k}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }n^{k}\varphi (t-n)}$ 

是最高次方為${\displaystyle k}$  的多項式函數。

消失矩與小波函數的設計

當濾波器的傅立葉轉換滿足以下的條件時，

${\displaystyle {\left|H_{\varphi }(\omega )\right|}^{2}+{\left|H_{\varphi }(\omega +\pi )\right|}^{2}=2}$  

此濾波器滿足共軛鏡像濾波器的條件。其中${\displaystyle H_{\varphi }(\omega )}$ 代表離散低通濾波器${\displaystyle h_{\varphi }[n]}$ 離散低通濾波器的傅立葉轉換。

結合共軛鏡像濾波器的條件與消失矩的第3個等價敘述，我們可以將低通濾波器表示為

${\displaystyle H_{\varphi }(e^{j\omega })={\sqrt {2}}{({\frac {1+e^{j\omega }}{2}}))}^{p}L(e^{j\omega })}$  

其中${\displaystyle L(x)}$ 為一多項式函數。

利用上述條件與消失矩的等價敘述，可以簡化設計小波函數的步驟。

消失矩與濾波器長度

在小波轉換中，尺度函數和小波母函數可利用離散濾波器來定義：

${\displaystyle \varphi (t)=\sum _{n}^{}h_{\varphi }[n]{\sqrt {2}}\varphi (2t-n)}$  

${\displaystyle \psi (t)=\sum _{n}^{}h_{\psi }[n]{\sqrt {2}}\varphi (2t-n)}$  

其中${\displaystyle h_{\varphi }[n]}$ 為離散低通濾波器，${\displaystyle h_{\psi }[n]}$ 則為離散高通濾波器，通常會利用支撐大小(Size of support)來表示濾波器的長度。

從上述${\displaystyle H_{\varphi }(e^{j\omega })={\sqrt {2}}{({\frac {1+e^{j\omega }}{2}}))}^{p}L(e^{j\omega })}$ 的表示式可得知，

當我們選擇較高的消失矩${\displaystyle p}$ 時，${\displaystyle H_{\varphi }(e^{j\omega })}$ 將會是具有較高${\displaystyle e^{j\omega }}$ 次方的多項式函數，因此對應到的${\displaystyle h_{\varphi }[n]}$ 便有較長的濾波器長度。

一般而言，擁有較高的消失矩與較短的濾波器長度是一個交換條件的關係，無法兩者同時滿足。

因此在設計連續小波轉換中的小波母函數時，除了消失矩外，也應當把所對應到的濾波器長度考慮進去。

參考文獻

• Jian-Jiun Ding (2012), Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform （页面存档备份，存于互联网档案馆） [viewed 17/01/2012]
• Chun-Lin Liu, A Tutorial of the Wavelet Transform （页面存档备份，存于互联网档案馆）, February 2010
• S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, 3rd ed., Third Edition: The Sparse Way. Academic Press, 3 ed., December 2008.