测度

测度（英語：Measure）是種對特定一群子集指定數值的函数，直觀上相当於体积，也就是指定一個代表體積大小的數值給每個可以測量大小的空間。传统的黎曼积分是在区间上进行的，為了把积分推广到更一般的集合上，人們就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是勒贝格测度，它從 ${\displaystyle n}$ 维欧式空间 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ 出發，概括了傳統长度、面积和体积等等的概念。

通俗的说，测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小：空集的测度是0；集合变大时测度至少不会减小（因为要加上变大的部分的测度，而它是非负的）。

研究測度的學問被統稱為测度论，因為指定的數值通常是非負实数，所以测度论通常會被視為实分析的一个分支，它在数学分析和概率论有重要的地位。

定义

要正式定義測度之前，必須先要決定怎樣的一群子集合，是「可以測量的」，詳細請見σ-代數。

集合 ${\displaystyle X}$  有σ-代數 ${\displaystyle \Sigma }$  ，函数 ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,\,\infty )}$  若满足：

• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$  (空集合的测度为零)

• 可数可加性( ${\displaystyle \sigma }$ -可加性)：若 ${\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }}$  是 ${\displaystyle \Sigma }$  中两两不相交的集合序列，也就是說，對所有 ${\displaystyle i\neq j}$  都有 ${\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing }$ ，則有

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})}$ 。

那 ${\displaystyle \mu }$  被稱為定義在 ${\displaystyle \Sigma }$  上的一個非負測度，或簡稱為測度。為了敘述簡便起見，有時會直接稱 ${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}$  为一测度空间。

如果將 ${\displaystyle \mu }$  的值域擴展到複數，也就是說 ${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} }$  ，那 ${\displaystyle \mu }$  會被進一步稱為複數測度。^[1]

定義的分歧

照著上述定義中的可数可加性去推論，不少母集合本身的測度值（如對 ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$  本身取勒贝格测度）會變成无穷大而實際上不存在，為了讓上述定義在最小更動的情況下適用，不少書籍^[2]會形式上將无穷大視為一個數，而容許測度取值為無窮大；容許這樣定義的書籍會將只容許有限实数值的測度稱為（非負）有限測度。但容許測度取值無窮大須額外申明，至少有個可測集合 ${\displaystyle E\in \Sigma }$  使得 ${\displaystyle \mu (E)\geq 0}$  ，否則這樣會容許測度值全為無窮大的病態情況。

更進一步的，如果對測度空間 ${\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}$  來說，母集合 ${\displaystyle X}$  都可以表示為某個 ${\displaystyle \Sigma }$  的可測集合序列 ${\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }}$  的并集：

${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}$ 

則有限測度 ${\displaystyle \mu }$  會被進一步的稱為（非負）σ-有限测度。

性质

单调性

测度${\displaystyle \mu \ }$ 的单调性： 若${\displaystyle E_{1}\ }$ 和${\displaystyle E_{2}\ }$ 为可测集，而且${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$ ，则${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}$ 。

可数个可测集的并集的测度

若${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}\cdots }$ 为可测集（不必是两两不交的），则集合${\displaystyle E_{n}\ }$ 的并集是可测的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：

${\displaystyle \mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}$ 

如果还满足并且对于所有的${\displaystyle n\ }$ ，${\displaystyle E_{n}\ }$ ⊆${\displaystyle E_{n+1}\ }$ ，则如下极限式成立：

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).}$ 

可数个可测集的交集的测度

若${\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots }$ 为可测集，并且对于所有的${\displaystyle n\ }$ ，${\displaystyle E_{n+1}\ }$ ⊆${\displaystyle E_{n}\ }$ ，则${\displaystyle E_{n}\ }$ 的交集是可测的。进一步说，如果至少一个${\displaystyle E_{n}\ }$ 的测度有限，则有极限：

${\displaystyle \mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}$ 

如若不假设至少一个${\displaystyle E_{n}\ }$ 的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，令

${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$ 

这裡，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。

完备性

对于一个可测集${\displaystyle N}$ ，若${\displaystyle \mu (N)=0\ }$ 成立，则称为零测集，其子集称为可去集。

一个可去集未必是可测的，但零测集一定是可去集。

如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。

一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：

考虑${\displaystyle X}$ 的所有与某个可测集${\displaystyle E}$ 仅差一个可去集的子集${\displaystyle F}$ ，可得到${\displaystyle E}$ 与${\displaystyle F}$ 的对称差包含于一个零测集中。

由这些子集${\displaystyle F}$ 生成的σ代数，并定义${\displaystyle \mu (F)=\mu (E)}$ ，所得到的测度即为完备测度。

例子

下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。

• 计数测度　定义为${\displaystyle \mu (S)=S\ }$ 的「元素个数」。
• 一维勒贝格测度是定义在${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足${\displaystyle \mu ([0,1])=1\ }$ 的唯一测度。
• Circular angle测度是旋转不变的。
• 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
• 恆零测度定义为${\displaystyle \mu (S)=0\ }$ ，对任意的${\displaystyle S\ }$ 。
• 每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。见概率论公理。

其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。

相关条目

• 外测度（Outer measure）
• 幾乎處處（Almost everywhere）
• 勒贝格测度（Lebesgue measure）
• 勒貝格積分
• 法圖引理(Fatou's lemma)
• 富比尼定理(Fubini's theorem)
• 可測基數

参考文献

1. Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 124–124. 
2. Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 17–17. 

• R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
• D. H. Fremlin, 2000. . Torres Fremlin.
• Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
• M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Measure, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Tutorial: Measure Theory for Dummies（为初学者准备的测度论教学） （页面存档备份，存于互联网档案馆）