派克变换

派克变换（也译作帕克变换，英语：Park's Transformation），是目前分析同步电动机运行最常用的一种坐标变换，由美国工程师派克（R.H.Park）在1929年提出。派克变换将定子的a,b,c三相电流投影到随着转子旋转的直轴（d轴），交轴（q轴）与垂直于dq平面的零轴（0轴）上去，从而实现了对定子电感矩阵的对角化，对同步电动机的运行分析起到了简化作用。

定义

派克正变换：

${\displaystyle {\mathbf {i} }_{dq0}={\mathbf {P} }{\mathbf {i} }_{abc}={\frac {2}{3}}\left[{\begin{array}{*{20}c}{\cos \theta }&{\cos \left({\theta -120^{\circ }}\right)}&{\cos \left({\theta +120^{\circ }}\right)}\\{-\sin \theta }&{-\sin \left({\theta -120^{\circ }}\right)}&{-\sin \left({\theta +120^{\circ }}\right)}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{i_{a}}\\{i_{b}}\\{i_{c}}\\\end{array}}\right]}$ 

逆变换：

${\displaystyle {\mathbf {i} }_{abc}={\mathbf {P} }^{-1}{\mathbf {i} }_{dq0}=\left[{\begin{array}{*{20}c}{\cos \theta }&{-\sin \theta }&1\\{\cos \left({\theta -120^{\circ }}\right)}&{-\sin \left({\theta -120^{\circ }}\right)}&1\\{\cos \left({\theta +120^{\circ }}\right)}&{-\sin \left({\theta +120^{\circ }}\right)}&1\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{i_{d}}\\{i_{q}}\\{i_{0}}\\\end{array}}\right]}$ 

派克变换也作用在定子电压与定子绕组磁链上： ${\displaystyle {\mathbf {u} }_{dq0}={\mathbf {P} }{\mathbf {u} }_{abc}}$ ，${\displaystyle {\mathbf {\Psi } }_{dq0}={\mathbf {P} }{\mathbf {\Psi } }_{abc}}$ 

几何解释

 

上图描绘了派克变换的几何意义，定子三相电流互成120度角，${\displaystyle \delta }$ 为定子电流落后于它们对应的相电压的角度。直轴与交轴电流分别等于定子三相电流在d轴与q轴上的投影。（图中的比例系数${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{2}}}}$ 是由于图中所采用的是正交形式的派克变换）d-q坐标系在空间中以角速度${\displaystyle \omega }$ 逆时针旋转，故 ${\displaystyle \theta =\omega t}$  以d轴领先a相轴线的方向为正。当定子电流为三相对称的正弦交流电时，${\displaystyle i_{d}}$ ,${\displaystyle i_{q}}$ 为直流电流，${\displaystyle i_{0}=0}$ 。

用派克变换化简同步发电机基本方程

变换后的磁链方程

磁链方程：

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {\Psi } }_{abc}}\\{{\mathbf {\Psi } }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {L} }_{SS}}&{{\mathbf {L} }_{SR}}\\{{\mathbf {L} }_{RS}}&{{\mathbf {L} }_{RR}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{-{\mathbf {i} }_{abc}}\\{{\mathbf {i} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]}$ 

上式中的电感系数矩阵 ${\displaystyle {{\mathbf {L} }_{SS}},{{\mathbf {L} }_{SR}},{{\mathbf {L} }_{RS}},{{\mathbf {L} }_{RR}}}$  事实上都含有随时间变化的角度参数^[1]，使得方程求解困难。

现对等式两边同时左乘 ${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}c}{\mathbf {P} }&{}\\{}&{\mathbf {U} }\\\end{array}}\right]}$ ，其中${\displaystyle {\mathbf {U} }}$ 为三阶单位矩阵。方程化为：

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {\Psi } }_{dq0}}\\{{\mathbf {\Psi } }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{\mathbf {P} }&{}\\{}&{\mathbf {U} }\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {L} }_{SS}}&{{\mathbf {L} }_{SR}}\\{{\mathbf {L} }_{RS}}&{{\mathbf {L} }_{RR}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {P} }^{-1}}&{}\\{}&{\mathbf {U} }\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{-{\mathbf {i} }_{abc}}\\{{\mathbf {i} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]}$ 

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {\Psi } }_{dq0}}\\{{\mathbf {\Psi } }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {PL} }_{SS}{\mathbf {P} }^{-1}}&{{\mathbf {PL} }_{SR}}\\{{\mathbf {L} }_{RS}{\mathbf {P} }^{-1}}&{{\mathbf {L} }_{RR}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{-{\mathbf {i} }_{dq0}}\\{{\mathbf {i} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]}$ 

其中 ${\displaystyle {\mathbf {PL} }_{SS}{\mathbf {P} }^{-1}=\left[{\begin{array}{*{20}c}{L_{d}}&{}&{}\\{}&{L_{q}}&{}\\{}&{}&{L_{0}}\\\end{array}}\right]\triangleq {\mathbf {L} }_{dq0}}$ 。

① 变换后的电感系数都变为常数，可以假想dd绕组，qq绕组是固定在转子上的，相对转子静止。

② 派克变换阵对定子自感矩阵 ${\displaystyle {\mathbf {L} }_{SS}}$  起到了对角化的作用，并消去了其中的角度变量。${\displaystyle {L_{d}},{L_{q}},{L_{0}}}$  为其特征根。

③ 变换后定子和转子间的互感系数不对称，这是由于派克变换的矩阵不是正交矩阵。

④ ${\displaystyle {L_{d}}}$  为直轴同步电感系数，其值相当于当励磁绕组开路，定子合成磁势产生单纯直轴磁场时，任意一相定子绕组的自感系数。

变换后的电压方程

电压方程：

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {U} }_{abc}}\\{{\mathbf {U} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {r} }_{S}}&{}\\{}&{{\mathbf {r} }_{R}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{-{\mathbf {i} }_{abc}}\\{{\mathbf {i} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {\dot {\Psi }} }_{abc}}\\{{\mathbf {\dot {\Psi }} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]}$ 

现对等式两边同时左乘 ${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}c}{\mathbf {P} }&{}\\{}&{\mathbf {U} }\\\end{array}}\right]}$ ，其中${\displaystyle {\mathbf {U} }}$ 为三阶单位矩阵。方程化为：

${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {U} }_{dq0}}\\{{\mathbf {U} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {r} }_{S}}&{}\\{}&{{\mathbf {r} }_{R}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{-{\mathbf {i} }_{dq0}}\\{{\mathbf {i} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {P{\dot {\Psi }}} }_{abc}}\\{{\mathbf {\dot {\Psi }} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]}$ 

由 ${\displaystyle {\mathbf {\Psi } }_{dq0}={\mathbf {P\Psi } }_{abc}}$  ，

对两边求导，得 ${\displaystyle {\mathbf {\dot {\Psi }} }_{dq0}={\mathbf {{\dot {P}}\Psi } }_{abc}+{\mathbf {P{\dot {\Psi }}} }_{abc}}$  ，

所以 ${\displaystyle {\mathbf {P{\dot {\Psi }}} }_{abc}={\mathbf {\dot {\Psi }} }_{dq0}-{\mathbf {{\dot {P}}\Psi } }_{abc}={\mathbf {\dot {\Psi }} }_{dq0}-{\mathbf {{\dot {P}}P} }^{-1}{\mathbf {\Psi } }_{dq0}}$ 

其中 ${\displaystyle {\mathbf {{\dot {P}}P} }^{-1}=\left[{\begin{array}{*{20}c}{}&\omega &{}\\{-\omega }&{}&{}\\{}&{}&{}\\\end{array}}\right]}$  ，令 ${\displaystyle {\mathbf {S} }={\mathbf {{\dot {P}}P} }^{-1}{\mathbf {\Psi } }_{dq0}=\left[{\begin{array}{*{20}c}{}&\omega &{}\\{-\omega }&{}&{}\\{}&{}&{}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{\Phi _{d}}\\{\Phi _{q}}\\{\Phi _{0}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{\omega \Psi _{q}}\\{-\omega \Psi _{d}}\\{}\\\end{array}}\right]}$ 

于是有 ${\displaystyle \left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {U} }_{dq0}}\\{{\mathbf {U} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {r} }_{S}}&{}\\{}&{{\mathbf {r} }_{R}}\\\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}c}{-{\mathbf {i} }_{dq0}}\\{{\mathbf {i} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{*{20}c}{{\mathbf {\dot {\Psi }} }_{dq0}}\\{{\mathbf {\dot {\Psi }} }_{fDQ}}\\\end{array}}\right]-\left[{\begin{array}{*{20}c}{\mathbf {S} }\\{}\\\end{array}}\right]}$ 

上式右边第一项为绕组电阻的压降，第二项为变压器电势，第三项为发电机电势或旋转电势。

注释

1. 定子电感矩阵 ${\displaystyle {\mathbf {L} }_{SS}=\left[{\begin{array}{*{20}c}{L_{aa}}&{M_{ab}}&{M_{ac}}\\{M_{ba}}&{L_{bb}}&{M_{bc}}\\{M_{ca}}&{M_{cb}}&{L_{cc}}\\\end{array}}\right]}$ ，
   其中
   

   ${\displaystyle L_{aa}=l_{0}+l_{2}\cos \left(2\theta \right)}$ 

   ${\displaystyle L_{bb}=l_{0}+l_{2}\cos 2\left({\theta -120^{\circ }}\right)}$ 

   ${\displaystyle L_{cc}=l_{0}+l_{2}\cos 2\left({\theta +120^{\circ }}\right)}$ 

   ${\displaystyle M_{ab}=M_{ba}=-m_{0}-m_{2}\cos 2\left({\theta +30^{\circ }}\right)}$ 

   ${\displaystyle M_{bc}=M_{cb}=-m_{0}-m_{2}\cos 2\left({\theta -90^{\circ }}\right)}$ 

   ${\displaystyle M_{ca}=M_{ac}=-m_{0}-m_{2}\cos 2\left({\theta +150^{\circ }}\right)}$ 

参考书目

• 电机电子类科《电力系统暂态分析》，ISBN 978-7-5083-4825-4，作者：李光琦，中国电力出版社。