波前集

在数学分析中，特别是微局部分析中，一个分布 ${\displaystyle f}$ 的波前集 ${\displaystyle {\text{WF}}(f)}$ 在奇异支集 ${\displaystyle {\text{singsupp}}(f)}$ 的基础上进一步刻画了 ${\displaystyle f}$ 的奇异性。作为底空间余切丛的一个锥子集，一个分布的波前集不仅描述了这个分布的奇异点，并且同时描述了在每一点这个分布奇异的方向。“波前集”这个术语是由 拉尔斯·霍尔曼德尔在1970年左右引入的。实解析版本的波前集，定义在超函数上，称为“奇异支集”或“奇异谱”，稍早由佐藤干夫引入。

定义

在欧式空间的一个区域 ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$  中，一个分布 ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'(X)}$  在一个点 ${\displaystyle x\in X}$  处的奇异纤维 ${\displaystyle \Sigma _{x}(u)}$ ，作为 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$ 的一个子集， 是在这一点所有奇异方向的余集。严格的定义用到傅里叶变换，${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$  不属于 ${\displaystyle \Sigma _{x}(u)}$  当且仅当存在紧支集光滑函数 ${\displaystyle \phi \in C_{0}^{\infty }(X)}$  以及 ${\displaystyle \xi }$  的一个锥邻域（在正实数乘法下不变） ${\displaystyle \Gamma }$  使得 ${\displaystyle \phi (x)\neq 0}$ ，并且在 ${\displaystyle \Gamma }$  中有如下估计：对于任意正整数 ${\displaystyle N}$ ，存在正常数 ${\displaystyle C_{N}}$  使得

${\displaystyle |{\widehat {(\phi u)}}(\eta )|\leq C_{N}(1+|\eta |)^{-N}\;\;\;\forall \;\eta \in \Gamma .}$ 

（我们经常将这个估计写为${\displaystyle |{\widehat {\phi u}}(\eta )|=O(\langle \eta \rangle ^{-\infty })}$ 。）

${\displaystyle f}$  的波前集 ${\displaystyle {\text{WF}}(u)}$  定义为

${\displaystyle {\text{WF}}(u)=\{(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{n}\times (\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}):\xi \in \Sigma _{x}(u)\}.}$ 

由下面波前集在坐标变化下的性质，可以定义光滑流形 ${\displaystyle X}$  上的分布 ${\displaystyle f}$  的波前集 ${\displaystyle {\text{WF}}(f)}$  为余切丛去掉零截面 ${\displaystyle T^{\ast }X\setminus 0}$  的一个锥子集。

如果 ${\displaystyle B:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)}$ 有Schwarz核 ${\displaystyle K_{B}\in {\mathcal {D}}'(Y\times X)}$ ，定义

${\displaystyle {\text{WF}}'(B)=\{(y,\eta ,x,\xi )\in T^{\ast }Y\times T^{\ast }X:(y,\eta ,x,-\xi )\in {\text{WF}}(K_{B}).}$ 

对于拟微分算子 ${\displaystyle A\in \Psi ^{m}(X)}$ ， 可以验证 ${\displaystyle {\text{WF}}'(A)}$  包含于 ${\displaystyle (T^{\ast }X\setminus 0)\times (T^{\ast }X\setminus 0)}$  的对角线 ${\displaystyle \Delta (T^{\ast }X\setminus 0)=\{(x,\xi ,x,\xi ):(x,\xi )\in T^{\ast }X\setminus 0\}}$ 中。并且如果我们定义 ${\displaystyle {\text{WF}}(A)\subset T^{\ast }X\setminus 0}$  如下：${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})\not \in {\text{WF}}(A)}$  当且仅当在${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})}$ 的一个锥邻域中，${\displaystyle A}$  的象征满足估计

${\displaystyle \sigma (A)(x,\xi )=O(\langle \xi \rangle ^{-\infty })}$ 

那么我们有 ${\displaystyle (x,\xi )\in {\text{WF}}(A)}$  当且仅当 ${\displaystyle (x,\xi ,x,\xi )\in {\text{WF}}'(A)}$ 。

等价定义

Hormander最早的定义用到了拟微分算子在分布上的作用：${\displaystyle {\text{WF}}(u)}$  是所有满足如下性质的点 ${\displaystyle (x,\xi )}$ 在${\displaystyle T^{\ast }X\setminus 0}$  中的补集： 存在 ${\displaystyle (x,\xi )}$  的锥邻域 ${\displaystyle \Gamma }$  使得对于任意的满足 ${\displaystyle {\text{WF}}(A)\subset \Gamma }$  的拟微分算子 ${\displaystyle A\in \Psi ^{0}(X)}$ ， 有 ${\displaystyle Au\in C^{\infty }}$ 。

另一个有用的等价定义用到FBI变换。

性质

（1） 如果记 ${\displaystyle \pi :T^{\ast }X\setminus 0\to X}$  为余切丛上自然投影，则 ${\displaystyle \pi ({\text{WF}}(u))={\text{sing supp}}(u)}$ 。

（2） 对于拟微分算子 ${\displaystyle A\in \Psi ^{m}}$ ， ${\displaystyle {\text{WF}}(Au)\subset {\text{WF}}(A)\cap {\text{WF}}(u)}$ 。特别的，我们有对于任意的光滑系数微分算子${\displaystyle a(x,D)}$ ，${\displaystyle {\text{WF}}(a(x,D)u)\subset {\text{WF}}(u)}$ 。

（3） 如果 ${\displaystyle f:X\to Y}$  是一个光滑映射，记 ${\displaystyle N_{f}=\{(f(x);\eta )\in T^{\ast }Y,{}^{T}f(x)'\eta =0\}}$  为 ${\displaystyle f}$  的法丛。如果 ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'(Y)}$ 满足 ${\displaystyle {\text{WF}}(u)\cap N_{f}=\emptyset }$ ，那么我们可以“唯一的”定义 ${\displaystyle u}$  在 ${\displaystyle f}$  下的拉回 ${\displaystyle f^{\ast }u\in {\mathcal {D}}'(X)}$ 。并且我们有 ${\displaystyle {\text{WF}}(f^{\ast }u)\subset f^{\ast }{\text{WF}}(u)}$ 。 特别的，如果 ${\displaystyle f}$  是一个微分同胚，${\displaystyle {\text{WF}}(f^{\ast }u)=f^{\ast }{\text{WF}}(u)}$ 。所以波前集定义在余切丛上是不取决于坐标的。

（4）令 ${\displaystyle B:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)}$  如果将 ${\displaystyle {\text{WF}}'(B)}$  视作从 ${\displaystyle T^{\ast }X}$  到 ${\displaystyle T^{\ast }Y}$  的一个关系，并且记 ${\displaystyle {\text{WF}}'_{X}(B)=WF'(B)^{-1}(0_{Y}),\;\;{\text{WF}}'_{Y}(B)=WF'(B)(0_{X})}$ 。这里${\displaystyle 0_{X}}$ 和${\displaystyle 0_{Y}}$ 分别是${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 上余切丛的零截面。则如果 ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'(X)}$ 满足 ${\displaystyle {\text{WF}}(u)\cap {\text{WF}}'_{X}(B)=\emptyset }$ ，那么我们可以“唯一的”定义${\displaystyle Bu\in {\mathcal {D}}'(Y)}$ 。并且我们有 ${\displaystyle {\text{WF}}(Bu)\subset {\text{WF}}'(B)({\text{WF}}(u))\cup {\text{WF}}'_{Y}(B)}$ 。

（5）如果 ${\displaystyle A:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)}$  和 ${\displaystyle B:C_{0}^{\infty }(Y)\to {\mathcal {D}}'(Z)}$  满足 ${\displaystyle {\text{WF}}'_{Y}(A)\cap {\text{WF}}'_{Y}(B)=\emptyset }$ ，那么我们可以“唯一的”定义复合算子 ${\displaystyle B\circ A:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Z)}$ 。并且我们有

${\displaystyle {\text{WF}}'(B\circ A)\subset ({\text{WF}}'_{Z}(B)\times (0_{X}))\cup (0_{Z}\times {\text{WF}}'_{X}(A))\cup ({\text{WF}}'(B)\circ {\text{WF}}'(A))}$ 

这里最后一项是将波前集视为关系下的复合。

例子

${\displaystyle \delta }$ 函数

振荡积分

余法分布

拉格朗日分布

应用

分布的运算

拟微分算子与微局部化

奇异性的传播

推广

以上所定义的波前集描述的是分布的关于 ${\displaystyle C^{\infty }}$  正则性的奇异性，类似的可以定义关于实解析性的波前集 ${\displaystyle {\text{WF}}_{A}}$ ，关于Gevery类 ${\displaystyle G^{s}}$  的波前集，关于Sobolev空间 ${\displaystyle H^{s}}$  的波前集等等。在使用FBI变换的定义中，这些波前集有一个很好的统一的描述。

参考来源

• Lars Hörmander, Fourier integral operators I, Acta Math. 127 (1971), pp. 79-183.
• Hörmander, Lars, The Analysis of Linear Partial Differential Equations I: Distribution Theory and Fourier Analysis, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256 2nd, Springer: 251–279, 1990, ISBN 0-387-52345-6  Chapter VIII, Spectral Analysis of Singularities