乘法

在数学中，乘法（英語：multiplication）是加法的連續運算，同一数的若干次连加，其運算結果稱為積（英語：product）。

3×4 = 12

${\displaystyle \underbrace {a+a+a+\cdots +a} _{n}=a\times n}$

須注意的是，華人地區有將四則運算的被運算數和運算數統一位置，所以被乘數放前面，乘數放後面。唸作「a 乘以 n」或「n 乘 a」。 但在其它語言（如英文）中，有可能乘數是放在前的，寫作 ${\displaystyle n\times a}$ ，唸作「n times a」。

表示法

乘法可以用幾種方法表示。以下的式子表示“五乘以二”：

• ${\displaystyle 5\times 2}$ 
• ${\displaystyle 5\cdot 2}$ 
• ${\displaystyle 5*2}$ 
• ${\displaystyle (5)(2)}$ 

古代常用的方法是將兩個數並排，沒有甚麼特別的符號來表示乘法。

以「${\displaystyle \times }$ 」表示乘法是威廉·奧特雷德最先使用，分別於一篇現時相信是於1618年他寫的附錄，和約於1628年寫作的、1631年出版的書《數學之鑰》（Clavis Mathematicae）內出現。以「${\displaystyle \times }$ 」表示乘法是現在最流行的寫法。在電腦文書中，也有為方便鍵盤輸入而以小寫英文字母「x」替代「×」。

以「${\displaystyle \cdot }$ 」表示乘法現在用於德國和法國等國家，最早由托马斯·哈里奥特在1631年出版的著作使用，但對這個用法較有影響力的人是萊布尼茲。

因為星號「${\displaystyle *}$ 」是鍵盤必備的符號，電腦常用星號表示乘號，第一次在計算機使用這個用法的是FORTRAN（福傳）編程語言，事實上可以追溯到更早——1659年，Johann Rahn（1622年－1676年）在Teutsche Algebra一書中首次使用；但筆算時很少使用星號。

代数中，乘號經常省略掉，形式如${\displaystyle 5x}$ 和${\displaystyle xy}$ 。若變數多於一個字母，容易使人混淆。這種表示法不會用於只有數字時，即${\displaystyle 5\times 2}$ 不會表示成${\displaystyle 52}$ 。

乘積可以用大写希臘字母Π（Pi，${\displaystyle \Pi }$ ）來表示：

${\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}:=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \ldots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}}$ 

定義

兩個整數的積是：

${\displaystyle mn=\sum _{k=1}^{n}m}$ 

這是“將m加到自己n次”的簡化說法。更清晰來說：

${\displaystyle mn=\underbrace {m+m+m+\cdots +m} _{n}}$ 

使用上面的定義，我們很易找到一些乘法的性質：

• 交換律：${\displaystyle xy=yx}$ 
• 結合律：${\displaystyle (xy)z=x(yz)}$ 
• 分配律：${\displaystyle x(y+z)=xy+xz}$ 

將任何數乘以一都會等於該數本身，即${\displaystyle 1x=x}$ ，稱為單位律。

將任何數乘以零，即是甚麼也沒做過，結果就是零，即${\displaystyle 0x=0}$ 。

當${\displaystyle x}$ 是量，${\displaystyle y}$ 是自然數，乘法的递归定義：

${\displaystyle 0x=0}$ 

${\displaystyle xy=x+x(y-1)}$ 

历史

 

孙子筹算乘法

 

印度的格子乘法

最早最详细的关于十进位制乘法的规则，首见西元400年左右孙子算经。孙子乘法在9世纪经花拉子米介绍而流行于阿拉伯国家，13世纪被翻译成拉丁文而流行西方。

印度的格子乘法在唐代流入中国，在9世纪初经花拉子米介绍到阿拉伯，但都未能流行。

計算

未解決的计算机科学問題：计算两个n位数相乘的最快算法是什么？

• 電腦有特別的算法來處理大數之間的相乘，見乘法算法。
• 華人小學生通常要背誦九九乘法表來學習乘法。
• 史豐收速算法提出了用“本個 +後進”的方式來計算乘法。
• 尺規作圖作乘法的方法：給定長為${\displaystyle 1}$ 的線，以及兩條線${\displaystyle AB}$ 和${\displaystyle AC}$ ，求長度為該兩條的線長度的積的線。解法：設該兩條線分別為${\displaystyle AB}$ 和${\displaystyle AC}$ ，${\displaystyle AB}$ 垂直${\displaystyle AC}$ 于${\displaystyle A}$ 。在${\displaystyle AB}$ 上畫出點${\displaystyle D}$ 使${\displaystyle DA=1}$ ，連${\displaystyle D}$ 、${\displaystyle C}$ 為${\displaystyle DC}$ 。畫一條通過${\displaystyle B}$ 、平行${\displaystyle DC}$ 的線，延長${\displaystyle AC}$ ，此兩條線的交於${\displaystyle E}$ ，${\displaystyle EA}$ 即為所求之線。

參考