比耶鲁姆长度

比耶鲁姆长度（Bjerrum length ）是衡量介质极化程度的一种方法，定义为：在介电常数为 ${\displaystyle \epsilon _{r}}$ 的介质中，距离为${\displaystyle l_{B}}$ 的两个基本电荷对之间的静电势能${\displaystyle U(r)}$ 等于无规热能 ${\displaystyle k_{B}T}$ （或者距离${\displaystyle l_{B}}$ 的一摩尔基本电荷对之间的静电势能 ${\displaystyle U(r)}$ 等于无规热能 ${\displaystyle RT}$ ）。

其中${\displaystyle k_{B}}$为波尔兹曼常数，${\displaystyle T}$为绝对温度，R氣體常數 是波茲曼常數 k 乘上阿伏伽德罗常數 N_A。當使用摩爾數計算粒子數時，較常使用氣體常數。 比耶鲁姆长度以丹麦化学家比耶鲁姆（英语：Niels Bjerrum）^[1]的名字命名。比耶鲁姆长度是电解质体系、聚电解质体系和胶体分散系等中的一个很自然的尺度。^[2]

在国际单位制中，比耶鲁姆长度为

${\displaystyle l_{B}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\epsilon _{r}k_{B}T}}}$

其中，${\displaystyle e}$为基本电荷的电量，${\displaystyle \epsilon _{0}}$为真空电容率，${\displaystyle \epsilon _{r}}$为溶液的相对介电常数。对于水溶液，在室温（${\displaystyle T=300K}$），${\displaystyle \epsilon _{r}\approx 80}$，于是${\displaystyle l_{B}\approx 0.7{\mbox{nm}}}$

在 高斯单位制中， ${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}=1}$ ，比耶鲁姆长度为

${\displaystyle l_{B}={\frac {e^{2}}{\epsilon _{r}k_{B}T}}.}$

例子

基本电子对间的库伦势定义为：

${\displaystyle u\left(r\right)={\frac {{e}^{2}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{r}}r}}}$ 

空气中，${\displaystyle \epsilon _{r}}$  = 1，一摩尔相距为 ${\displaystyle r={{l}_{B}}}$  的基本电子对，电势能为：

${\displaystyle u\left({{l}_{B}}\right)={\frac {{e}^{2}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{l}_{B}}}}N}$ 

根据比耶鲁姆长度的定义，库伦势等于内能: ${\displaystyle u\left({{l}_{B}}\right)=RT}$ 

${\displaystyle {\frac {{e}^{2}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{l}_{B}}}}N=RT\Rightarrow {{l}_{B}}={\frac {{{e}^{2}}N}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}RT}}}$ 

当温度 ${\displaystyle T=298.15K}$  时:

${\displaystyle {{l}_{B}}={\frac {1.386\times {{10}^{-4}}J\centerdot m\centerdot mo{{l}^{-1}}}{\left(8.314J{{K}^{-1}}\times 298.15K\right)}}=560{\overset {\circ }{\mathop {A} }}\,}$ 

${\displaystyle 560{\overset {\circ }{\mathop {A} }}}$  在原子尺度上来说是一个非常长的距离，是原子半径的许多倍，当两个电荷的距离比这个距离小的时候，它们会感受到非常强烈的吸引（或排斥）力，由于库仑势能比布朗运动的能量高，它们会变得有规则。反之，当距离大于比耶鲁姆长度的时候，库仑力对电荷的束缚比较小，电荷显得更加自由。

参考文献

1. http://www.rsc.org/delivery/_ArticleLinking/DisplayArticleForFree.cfm?doi=TF959550X001&JournalCode=TF
2. Russel, William B.; Saville, D. A.; Schowalter, William R. Colloidal Dispersions. New York: Cambridge University Press. 1989.