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四角反棱柱

幾何學中,四角反棱柱底面四邊形反棱柱,是反棱柱系列中的第二個成員。其有8個三角形側面,再由2個四邊形底面封閉。四角反棱柱有時也被稱為反立方體(anticube)。[1]

正四角反棱柱
類別反棱柱
柱狀均勻多面體
對偶多面體四方偏方面體
識別
名稱正四角反棱柱
參考索引U77(b)
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
squap
數學表示法
考克斯特符號
英语Coxeter-Dynkin diagram

施萊夫利符號s{2,4}
威佐夫符號
英语Wythoff symbol
| 2 2 4
康威表示法A4
性質
10
16
頂點8
歐拉特徵數F=10, E=16, V=8 (χ=2)
組成與佈局
面的種類三角形×8
正方形×2
面的佈局
英语Face configuration
8{3}+2{4}
頂點圖3.3.3.4
對稱性
對稱群D4d, [2+,8], (2*4), order 16
旋轉對稱群
英語Rotation_groups
D4, [4,2]+, (442), order 8
特性
圖像

若底面為正方形、側面為正三角形則稱為正四角反棱柱,是一種半正多面體均勻多面體,但不是阿基米德立體

性質

四角反棱柱共由10個面、16條邊和8個頂點所組成,在其10個面中,有2個正方形底面和8個三角形側面。其8個頂點皆為1個正方形和3個三角形的公共頂點,因此所有頂解階等價,是一種等角圖形,在頂點圖中可以用3.3.3.4來表示。由於四角反棱柱具有點可遞的特性,因此是一種均勻多面體。其對偶多面體是四方偏方面體

體積與表面積

若一正四角反棱柱所有面都是正多邊形時,則這種立體是半正多面體也是均勻多面體,它只有一種邊長,若令其為a,則其高為:

 

體積 與表面積 為:[2]

 
 

二面角

若一正四角反棱柱所有面都是正多邊形時,則這種立體的二面角能夠被唯一確定。正四角反棱柱共有兩種二面角,分別為正方形和三角形的二面角,以及三角形和三角形的二面角。[3]

其中,正方形和三角形的二面角為:

 正方形 三角形 [4] 

而三角形和三角形的二面角為:

 三角形 三角形 [4] 

在化學中

根據化學分子幾何的价层电子对互斥理论,分子的構型會儘可能令電子對或原子之間的距離最大化,當八對電子環繞一個中心原子時,四角反棱柱的構型較為常見。具有這種分子構型的一個例子是在八氟合氙(VI)酸亚硝酰中的八氟合氙(VI)離子(XeF2−
8
);然而該分子的構型非理想的四角反棱柱,其有一定程度的扭曲。[5]八個頂點的分子構型還有一種可能就是立方體,但很少有離子的構型是立方體的,因為這種形狀會導致配體之間產生很大的排斥力,PaF3−
8
離子是為數不多的例子之一[6]

另一種分子的原子排列方式與四角反棱柱頂點排列方式相同的分子是环八硫S8环八硫是硫元素最穩定的同素異形體[7],這個分子具有四角反棱柱的結構,其中八個原子的位置對應到四角反棱柱的八個頂點,四角反棱柱的八個三角形側面的三角形-三角形邊對應於硫原子之間的共價鍵,因此四角反棱柱可以用於描述环八硫的分子結構[8]

在建築學中

世界貿易中心一號大樓的主體建築(位於2001年9月11日倒塌的舊世貿中心舊址原址重建的大樓)是一個非常高的錐形四角反棱柱形狀的建築物[9]。然而其不是真正的四角反棱柱,而是四角反錐台,因為他有一個錐度:其頂面正方形面積是底面正方形面積的一半。

拓樸相同的多面體

四角反錐台

四角反錐台是指存在錐度的四角反棱柱,也就是底面積與頂面積大小不同的四角反棱柱。世界貿易中心一號大樓實際上是這種形狀。[10]

 
四角反棱柱
(頂面和底面全等)
 
四角反錐台
(頂面和底面面積不相等)

扭曲四角柱

扭曲四角柱可以利用與四角反棱柱相同的頂點布局來構造(可以是順時針或逆時針)。其可以視為從四角反棱柱的四條稜上各移除一個四面體所構成的立體。然而,在此之後,如果不添加新頂點,就不能將其三角剖分英语Triangulation (geometry)成若干四面體。扭曲四角柱具有均勻解的一半對稱性:D4群,階數為4。[11][12]

 

交叉四角反棱柱

交叉四角反棱柱是一種星形多面體,其拓樸結構等價於四角反棱柱,並且與四角反棱柱有著相同的頂點排佈,但其不能成為均勻多面體,因為其側面僅能以等腰三角形的形式存在。交叉四角反稜柱的頂點布局為3.3/2.3.4,表示其中有一個反向相接的三角形,以至於其頂點圖呈現交叉四邊形。其具有d4d的二面體群對稱性,階數為8。

 

相關多面體及鑲嵌

扭稜多面體與鑲嵌家族:3.3.4.3.n
對稱性
4n2
[n,4]+
球面鑲嵌 歐氏鑲嵌 緊湊型雙曲鑲嵌 仿緊型鑲嵌 非緊型鑲嵌
242
[2,4]+
342
[3,4]+
442
[4,4]+
542
[5,4]+
642
[6,4]+
742
[7,4]+
842
[8,4]+...
∞42
[∞,4]+
 
[iπ/λ,4]+
扭稜
頂點布局
 
3.3.4.3.2
 
3.3.4.3.3
 
3.3.4.3.4
 
3.3.4.3.5
 
3.3.4.3.6
 
3.3.4.3.7
 
3.3.4.3.8
 
3.3.4.3.∞
 
3.3.4.3.∞
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin digram
施萊夫利符號
     
sr{2,4}
     
sr{3,4}
     
sr{4,4}
     
sr{5,4}
     
sr{6,4}
     
sr{7,4}
     
sr{8,4}
     
sr{∞,4}
     
rr{iπ/λ,4}
扭稜
對偶
頂點布局
 
V3.3.4.3.2
 
V3.3.4.3.3
 
V3.3.4.3.4
 
V3.3.4.3.5
V3.3.4.3.6 V3.3.4.3.7 V3.3.4.3.8 V3.3.4.3.∞ V3.3.4.3.∞
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin digram                                                      
半正反棱柱系列
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n
s{2,4}
sr{2,2}
s{2,6}
sr{2,3}
s{2,8}
sr{2,4}
s{2,10}
sr{2,5}
s{2,12}
sr{2,6}
s{2,14}
sr{2,7}
s{2,16}
sr{2,8}
s{2,18}
sr{2,9}
s{2,20}
sr{2,10}
s{2,22}
sr{2,11}
s{2,24}
sr{2,12}
s{2,2n}
sr{2,n}
     
     
     
     
     
     
      
     
      
     
      
     
      
     
      
     
      
     
      
     
      
     
      
     
                     
作為球面鑲嵌
             

參見

參考文獻

  1. ^ Holleman-Wiberg. Inorganic Chemistry, Academic Press, Italy, p. 299. ISBN 0-12-352651-5.
  2. ^ Weisstein, Eric W. (编). Square Antiprism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  3. ^ David I. McCooey. Prisms & Antiprisms: Square Antiprism. [2023-01-10]. (原始内容于2023-01-10). 
  4. ^ 4.0 4.1 Richard Klitzing. square antiprism, squap. bendwavy.org. [2023-01-10]. (原始内容于2023-01-10). 
  5. ^ Peterson, W.; Holloway, H.; Coyle, A.; Williams, M. Antiprismatic Coordination about Xenon: the Structure of Nitrosonium Octafluoroxenate(VI). Science. Sep 1971, 173 (4003): 1238–1239. Bibcode:1971Sci...173.1238P. ISSN 0036-8075. PMID 17775218. S2CID 22384146. doi:10.1126/science.173.4003.1238. 
  6. ^ Greenwood, Norman Neill; Earnshaw, Alan. Chemistry of the elements. 2016. ISBN 978-0-7506-3365-9. OCLC 1040112384 (英语). 
  7. ^ Steudel, R., "Homocyclic Sulfur Molecules", Topics Curr. Chem. 1982, 102, 149.
  8. ^ Constantin, Adrian and Germain, Pierre. Stratospheric planetary flows from the perspective of the Euler equation on a rotating sphere. 2021-09 [2023-01-10]. (原始内容于2023-01-10). 
  9. ^ If One World Trade Center is a prism and not an antiprism, would it be less in volume?. math4teaching.com. [2023-01-10]. (原始内容于2023-01-10). 
  10. ^ Arny Weinstein. sculpture, contemporary art. [2023-01-10]. (原始内容于2023-01-10). 
  11. ^ The facts on file: Geometry handbook, Catherine A. Gorini, 2003, ISBN 0-8160-4875-4, p.172
  12. ^ Pictures of Twisted Prisms. [2023-01-10]. (原始内容于2016-12-12). 

外部連結

  • http://mathworld.wolfram.com/SquareAntiprism.html(页面存档备份,存于互联网档案馆

四角反棱柱, 在幾何學中, 是底面為四邊形的反棱柱, 是反棱柱系列中的第二個成員, 其有8個三角形側面, 再由2個四邊形底面封閉, 有時也被稱為反立方體, anticube, 正類別反棱柱柱狀均勻多面體對偶多面體四方偏方面體識別名稱正參考索引u77, 鮑爾斯縮寫, verse, dimensions的wikia, bowers, acronym, squap數學表示法考克斯特符號, 英语, coxeter, dynkin, diagram, 施萊夫利符號s, 威佐夫符號, 英语, wythoff, symbol, . 在幾何學中 四角反棱柱是底面為四邊形的反棱柱 是反棱柱系列中的第二個成員 其有8個三角形側面 再由2個四邊形底面封閉 四角反棱柱有時也被稱為反立方體 anticube 1 正四角反棱柱類別反棱柱柱狀均勻多面體對偶多面體四方偏方面體識別名稱正四角反棱柱參考索引U77 b 鮑爾斯縮寫 verse and dimensions的wikia Bowers acronym squap數學表示法考克斯特符號 英语 Coxeter Dynkin diagram 施萊夫利符號s 2 4 威佐夫符號 英语 Wythoff symbol 2 2 4康威表示法A4性質面10邊16頂點8歐拉特徵數F 10 E 16 V 8 x 2 組成與佈局面的種類三角形 8 正方形 2面的佈局 英语 Face configuration 8 3 2 4 頂點圖3 3 3 4對稱性對稱群D4d 2 8 2 4 order 16旋轉對稱群 英語 Rotation groups D4 4 2 442 order 8特性凸圖像3 3 3 4 頂點圖 四方偏方面體 對偶多面體 展開圖 查论编若底面為正方形 側面為正三角形則稱為正四角反棱柱 是一種半正多面體或均勻多面體 但不是阿基米德立體 目录 1 性質 1 1 體積與表面積 1 2 二面角 2 在化學中 3 在建築學中 4 拓樸相同的多面體 4 1 四角反錐台 4 2 扭曲四角柱 4 3 交叉四角反棱柱 5 相關多面體及鑲嵌 6 參見 7 參考文獻 8 外部連結性質 编辑四角反棱柱共由10個面 16條邊和8個頂點所組成 在其10個面中 有2個正方形底面和8個三角形側面 其8個頂點皆為1個正方形和3個三角形的公共頂點 因此所有頂解階等價 是一種等角圖形 在頂點圖中可以用3 3 3 4來表示 由於四角反棱柱具有點可遞的特性 因此是一種均勻多面體 其對偶多面體是四方偏方面體 體積與表面積 编辑 若一正四角反棱柱所有面都是正多邊形時 則這種立體是半正多面體也是均勻多面體 它只有一種邊長 若令其為a 則其高為 h 2 1 4 a displaystyle h 2 frac 1 4 a 體積V displaystyle V 與表面積A displaystyle A 為 2 V 1 3 a 3 4 3 2 displaystyle V frac 1 3 a 3 sqrt 4 3 sqrt 2 A 2 a 2 1 3 displaystyle A 2a 2 1 sqrt 3 二面角 编辑 若一正四角反棱柱所有面都是正多邊形時 則這種立體的二面角能夠被唯一確定 正四角反棱柱共有兩種二面角 分別為正方形和三角形的二面角 以及三角形和三角形的二面角 3 其中 正方形和三角形的二面角為 displaystyle angle 正方形 displaystyle 三角形 arccos 6 3 3 arccos 1 2 3 displaystyle arccos left frac sqrt 6 sqrt 3 3 right arccos left frac 1 sqrt 2 sqrt 3 right 4 1 81228288 103 836160479 displaystyle approx 1 81228288 approx 103 836160479 circ 而三角形和三角形的二面角為 displaystyle angle 三角形 displaystyle 三角形 arccos 2 2 1 3 arccos 1 2 2 3 displaystyle arccos left frac 2 sqrt 2 1 3 right arccos left frac 1 2 sqrt 2 3 right 4 2 22619544 127 551602906 displaystyle approx 2 22619544 approx 127 551602906 circ 在化學中 编辑根據化學分子幾何的价层电子对互斥理论 分子的構型會儘可能令電子對或原子之間的距離最大化 當八對電子環繞一個中心原子時 四角反棱柱的構型較為常見 具有這種分子構型的一個例子是在八氟合氙 VI 酸亚硝酰中的八氟合氙 VI 離子 XeF2 8 然而該分子的構型非理想的四角反棱柱 其有一定程度的扭曲 5 八個頂點的分子構型還有一種可能就是立方體 但很少有離子的構型是立方體的 因為這種形狀會導致配體之間產生很大的排斥力 PaF3 8 離子是為數不多的例子之一 6 另一種分子的原子排列方式與四角反棱柱頂點排列方式相同的分子是环八硫S8 环八硫是硫元素最穩定的同素異形體 7 這個分子具有四角反棱柱的結構 其中八個原子的位置對應到四角反棱柱的八個頂點 四角反棱柱的八個三角形側面的三角形 三角形邊對應於硫原子之間的共價鍵 因此四角反棱柱可以用於描述环八硫的分子結構 8 八氟合氙 VI 離子 XeF2 8 环八硫分子在建築學中 编辑世界貿易中心一號大樓的主體建築 位於2001年9月11日倒塌的舊世貿中心舊址原址重建的大樓 是一個非常高的錐形四角反棱柱形狀的建築物 9 然而其不是真正的四角反棱柱 而是四角反錐台 因為他有一個錐度 其頂面正方形面積是底面正方形面積的一半 高度較高 具錐度的四角反棱柱 四角反錐台 世界貿易中心一號大樓拓樸相同的多面體 编辑四角反錐台 编辑 四角反錐台是指存在錐度的四角反棱柱 也就是底面積與頂面積大小不同的四角反棱柱 世界貿易中心一號大樓實際上是這種形狀 10 四角反棱柱 頂面和底面全等 四角反錐台 頂面和底面面積不相等 扭曲四角柱 编辑 扭曲四角柱可以利用與四角反棱柱相同的頂點布局來構造 可以是順時針或逆時針 其可以視為從四角反棱柱的四條稜上各移除一個四面體所構成的立體 然而 在此之後 如果不添加新頂點 就不能將其三角剖分 英语 Triangulation geometry 成若干四面體 扭曲四角柱具有均勻解的一半對稱性 D4群 階數為4 11 12 交叉四角反棱柱 编辑 交叉四角反棱柱是一種星形多面體 其拓樸結構等價於四角反棱柱 並且與四角反棱柱有著相同的頂點排佈 但其不能成為均勻多面體 因為其側面僅能以等腰三角形的形式存在 交叉四角反稜柱的頂點布局為3 3 2 3 4 表示其中有一個反向相接的三角形 以至於其頂點圖呈現交叉四邊形 其具有d4d的二面體群對稱性 階數為8 相關多面體及鑲嵌 编辑扭稜多面體與鑲嵌家族 3 3 4 3 n 對稱性4n2 n 4 球面鑲嵌 歐氏鑲嵌 緊湊型雙曲鑲嵌 仿緊型鑲嵌 非緊型鑲嵌242 2 4 342 3 4 442 4 4 542 5 4 642 6 4 742 7 4 842 8 4 42 4 ip l 4 扭稜頂點布局 3 3 4 3 2 3 3 4 3 3 3 3 4 3 4 3 3 4 3 5 3 3 4 3 6 3 3 4 3 7 3 3 4 3 8 3 3 4 3 3 3 4 3 考克斯特符號 英语 Coxeter Dynkin digram 施萊夫利符號 sr 2 4 sr 3 4 sr 4 4 sr 5 4 sr 6 4 sr 7 4 sr 8 4 sr 4 rr ip l 4 扭稜對偶頂點布局 V3 3 4 3 2 V3 3 4 3 3 V3 3 4 3 4 V3 3 4 3 5 V3 3 4 3 6 V3 3 4 3 7 V3 3 4 3 8 V3 3 4 3 V3 3 4 3 考克斯特符號 英语 Coxeter Dynkin digram 半正反棱柱系列 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ns 2 4 sr 2 2 s 2 6 sr 2 3 s 2 8 sr 2 4 s 2 10 sr 2 5 s 2 12 sr 2 6 s 2 14 sr 2 7 s 2 16 sr 2 8 s 2 18 sr 2 9 s 2 20 sr 2 10 s 2 22 sr 2 11 s 2 24 sr 2 12 s 2 2n sr 2 n 作為球面鑲嵌 參見 编辑反棱柱 偏方面體參考文獻 编辑 Holleman Wiberg Inorganic Chemistry Academic Press Italy p 299 ISBN 0 12 352651 5 Weisstein Eric W 编 Square Antiprism at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 David I McCooey Prisms amp Antiprisms Square Antiprism 2023 01 10 原始内容存档于2023 01 10 4 0 4 1 Richard Klitzing square antiprism squap bendwavy org 2023 01 10 原始内容存档于2023 01 10 Peterson W Holloway H Coyle A Williams M Antiprismatic Coordination about Xenon the Structure of Nitrosonium Octafluoroxenate VI Science Sep 1971 173 4003 1238 1239 Bibcode 1971Sci 173 1238P ISSN 0036 8075 PMID 17775218 S2CID 22384146 doi 10 1126 science 173 4003 1238 Greenwood Norman Neill Earnshaw Alan Chemistry of the elements 2016 ISBN 978 0 7506 3365 9 OCLC 1040112384 英语 Steudel R Homocyclic Sulfur Molecules Topics Curr Chem 1982 102 149 Constantin Adrian and Germain Pierre Stratospheric planetary flows from the perspective of the Euler equation on a rotating sphere 2021 09 2023 01 10 原始内容存档于2023 01 10 If One World Trade Center is a prism and not an antiprism would it be less in volume math4teaching com 2023 01 10 原始内容存档于2023 01 10 Arny Weinstein sculpture contemporary art 2023 01 10 原始内容存档于2023 01 10 The facts on file Geometry handbook Catherine A Gorini 2003 ISBN 0 8160 4875 4 p 172 Pictures of Twisted Prisms 2023 01 10 原始内容存档于2016 12 12 外部連結 编辑http mathworld wolfram com SquareAntiprism html 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 四角反棱柱 amp oldid 75625029, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,

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