深度 (模論)

在交換代數中， 深度是交換環與模的一種不變量，它可以由正則序列定義，或以同調代數中的Ext函子刻劃。

正則序列

設 ${\displaystyle R}$  為交換環，${\displaystyle M}$  為 ${\displaystyle R}$ -模。若元素 ${\displaystyle x\in R}$  滿足 ${\displaystyle \forall m\in M,\;xm=0\Rightarrow m=0}$ （即：${\displaystyle x}$  非 ${\displaystyle M}$  的零因子），則稱之為 ${\displaystyle M}$ -正則元。

一組 M-正則序列是一個 ${\displaystyle R}$  中的有限序列 ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{d})}$ ，使得對每個 ${\displaystyle 1\leq i\leq d}$  有

${\displaystyle x_{i}}$  為 ${\displaystyle M/(x_{0},\ldots ,x_{i-1})}$ -正則元（置 ${\displaystyle x_{0}:=0}$ ）

定理（Rees）：若 ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$  是局部諾特環，元素皆屬於 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$  的正則序列之置換仍是正則序列，而且這類序列中的極大者都具相同長度。

深度

假設同上，並固定一個理想 ${\displaystyle I\subset R}$ 。定義${\displaystyle R}$ -模 ${\displaystyle M}$  的I-深度為元素皆屬於 ${\displaystyle I}$  的 ${\displaystyle M}$ -正則序列的最大長度，記作 ${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)}$ （在法文文獻中常記作 ${\displaystyle \mathrm {prof} _{I}(M)}$ ）。環 ${\displaystyle R}$  的 ${\displaystyle I}$ -深度定義為 ${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(R)}$ 。

${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)}$  亦可用Ext函子刻劃為使得 ${\displaystyle \mathrm {Ext} ^{n}(R/I,M)\neq 0}$  的最小非負整數 ${\displaystyle n}$ 。

下列等式將深度問題化約到局部環的情形：

${\displaystyle \mathrm {depth} _{I}(M)=\sup _{{\mathfrak {p}}\supset I}(M_{\mathfrak {p}})}$ 

以下定理揭示了深度與射影維度的關係。

定理 （Auslander-Buchsbaum）：設 ${\displaystyle A}$  為局部諾特環，${\displaystyle M}$  為有限生成 ${\displaystyle A}$ -模，而且其射影維度有限，則

${\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)}$ 

文獻

• V.I. Danilov, Depth of a module, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer Graduate Texts in Mathematics, no. 150. ISBN 0-387-94268-8
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen-Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1