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歐拉-馬斯刻若尼常數

歐拉-馬斯刻若尼常數是一个数学常数,定义为调和级数自然对数的差值:

歐拉-馬斯刻若尼常數
歐拉-馬斯刻若尼常數
藍色區域的面積收斂到歐拉常數
命名
數字γ
名稱歐拉-馬斯刻若尼常數
識別
符號
位數數列編號A001620
性質
定義
表示方式
0.57721566490153...
無窮級數
二进制0.100100111100010001100111
十进制0.577215664901532860606512
十六进制0.93C467E37DB0C7A4D1BE3F81

它的近似值为[1]

歐拉-馬斯刻若尼常數主要应用于数论

历史

该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1735年发表的文章De Progressionibus harmonicus observationes中定义。欧拉曾经使用 作为它的符号,并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年,意大利数学家洛倫佐·馬斯凱羅尼引入了 作为这个常数的符号,并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。

目前尚不知道该常数是否为有理数,但是分析表明如果它是一个有理数,那么它的分母位数将超过10242080[2]

性质

与伽玛函数的关系

 
 
 

与ζ函数的关系

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

积分

 [證明 1] 
 
 
 
 
 
 

级数展开式

 

 .

 

 

 

 

 连分数展开式为:

 OEIS數列A002852).

渐近展开式

 
 
 

已知位数

 的已知位数
日期 位数 计算者
1734年 5 莱昂哈德·欧拉
1736年 15 莱昂哈德·欧拉
1790年 19 洛倫佐·馬斯凱羅尼
1809年 24 Johann G. von Soldner
1812年 40 F.B.G. Nicolai
1861年 41 Oettinger
1869年 59 William Shanks
1871年 110 William Shanks
1878年 263 约翰·柯西·亚当斯
1962年 1,271 高德纳
1962年 3,566 D.W. Sweeney
1977年 20,700 Richard P. Brent
1980年 30,100 Richard P. Brent和埃德温·麦克米伦
1993年 172,000 Jonathan Borwein
1997年 1,000,000 Thomas Papanikolaou
1998年12月 7,286,255 Xavier Gourdon
1999年10月 108,000,000 Xavier Gourdon和Patrick Demichel
2006年7月16日 2,000,000,000 Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2006年12月8日 116,580,041 Alexander J. Yee
2007年7月15日 5,000,000,000 Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2008年1月1日 1,001,262,777 Richard B. Kreckel
2008年1月3日 131,151,000 Nicholas D. Farrer
2008年6月30日 10,000,000,000 Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2009年1月18日 14,922,244,771 Alexander J. Yee和Raymond Chan
2009年3月13日 29,844,489,545 Alexander J. Yee和Raymond Chan
2013年 119,377,958,182 Alexander J. Yee
2016年 160,000,000,000 Peter Trueb
2016年 250,000,000,000 Ron Watkins
2017年 477,511,832,674 Ron Watkins
2020年 600,000,000,100 Seungmin Kim和Ian Cutress

相关证明

  1. ^  的证明:
    首先根据放缩法( )容易知道, ,以及 。因此 存在并有限。
     
     
     
     
     
     
     
     
    所以 
     
     
      (单调收敛定理)
     
     
     

參考文獻

  1. ^ A001620 oeis.org [2014-7-17]
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  12. Sondow, Jonathan; Zudilin, Wadim. Euler's constant, q-logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper. 2006. arXiv:math.NT/0304021 .  Ramanujan Journal 12: 225-244.
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  14. James Whitbread Lee Glaisher (1872), "On the history of Euler's constant". Messenger of Mathematics. New Series, vol.1, p. 25-30, JFM 03.0130.01
  15. Carl Anton Bretschneider (1837). "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova". Crelle Journal, vol.17, p. 257-285 (submitted 1835)
  16. Lorenzo Mascheroni (1790). "Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur". Galeati, Ticini.
  17. Lorenzo Mascheroni (1792). "Adnotationes ad calculum integralem Euleri. In quibus nonnullae formulae ab Eulero propositae evolvuntur". Galeati, Ticini. Both online at: http://books.google.de/books?id=XkgDAAAAQAAJ (页面存档备份,存于互联网档案馆
  18. Havil, Julian. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton University Press. 2003. ISBN 0-691-09983-9. 
  19. Karatsuba, E. A. Fast evaluation of transcendental functions. Probl. Inf. Transm. 1991, 27 (44): 339–360. 
  20. E.A. Karatsuba, On the computation of the Euler constant γ, J. of Numerical Algorithms Vol.24, No.1-2, pp. 83–97 (2000)
  21. M. Lerch, Expressions nouvelles de la constante d'Euler. Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften 42, 5 p. (1897)
  22. Lagarias, Jeffrey C. Euler's constant: Euler's work and modern developments. arXiv:1303.1856 . , Bulletin of the American Mathematical Society 50 (4): 527-628 (2013)

外部連結

歐拉, 馬斯刻若尼常數, 提示, 此条目的主题不是尤拉數, 是一个数学常数, 定义为调和级数与自然对数的差值, 藍色區域的面積收斂到歐拉常數命名數字γ名稱識別符號γ, displaystyle, gamma, 位數數列編號, a001620性質定義γ, displaystyle, gamma, rightarrow, infty, left, left, frac, right, right, displaystyle, gamma, infty, left, over, lfloor, rfloor, over,. 提示 此条目的主题不是尤拉數 歐拉 馬斯刻若尼常數是一个数学常数 定义为调和级数与自然对数的差值 歐拉 馬斯刻若尼常數歐拉 馬斯刻若尼常數藍色區域的面積收斂到歐拉常數命名數字g名稱歐拉 馬斯刻若尼常數識別符號g displaystyle gamma 位數數列編號 A001620性質定義g lim n k 1 n 1 k ln n displaystyle gamma lim n rightarrow infty left left sum k 1 n frac 1 k right ln n right g 1 1 x 1 x d x displaystyle gamma int 1 infty left 1 over lfloor x rfloor 1 over x right dx 表示方式值g displaystyle gamma approx 0 57721566490153 無窮級數g k 1 1 k ln 1 1 k displaystyle gamma sum k 1 infty left frac 1 k ln left 1 frac 1 k right right 二进制0 10010011 1100 0100 0110 0111 十进制0 57721566 4901 5328 6060 6512 十六进制0 93C467E3 7DB0 C7A4 D1BE 3F81 查论编 g lim n k 1 n 1 k ln n 1 1 x 1 x d x displaystyle gamma lim n rightarrow infty left left sum k 1 n frac 1 k right ln n right int 1 infty left 1 over lfloor x rfloor 1 over x right dx 它的近似值为g 0 577215664901532860606512090082402431042159335 displaystyle gamma approx 0 577215664901532860606512090082402431042159335 1 歐拉 馬斯刻若尼常數主要应用于数论 目录 1 历史 2 性质 2 1 与伽玛函数的关系 2 2 与z函数的关系 2 3 积分 2 4 级数展开式 2 5 渐近展开式 3 已知位数 4 相关证明 5 參考文獻 6 外部連結历史 编辑该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德 欧拉在1735年发表的文章De Progressionibus harmonicus observationes中定义 欧拉曾经使用C displaystyle C 作为它的符号 并计算出了它的前6位小数 1761年他又将该值计算到了16位小数 1790年 意大利数学家洛倫佐 馬斯凱羅尼引入了g displaystyle gamma 作为这个常数的符号 并将该常数计算到小数点后32位 但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误 目前尚不知道该常数是否为有理数 但是分析表明如果它是一个有理数 那么它的分母位数将超过10242080 2 性质 编辑与伽玛函数的关系 编辑 g G 1 PS 1 displaystyle gamma Gamma 1 Psi 1 g lim x x G 1 x displaystyle gamma lim x to infty left x Gamma left frac 1 x right right g lim n G 1 n G n 1 n 1 1 n G 2 n 1 n n 2 n 1 displaystyle gamma lim n to infty left frac Gamma frac 1 n Gamma n 1 n 1 frac 1 n Gamma 2 n frac 1 n frac n 2 n 1 right 与z函数的关系 编辑 g m 2 1 m z m m displaystyle gamma sum m 2 infty frac 1 m zeta m m ln 4 p m 1 1 m 1 z m 1 2 m m 1 displaystyle ln left frac 4 pi right sum m 1 infty frac 1 m 1 zeta m 1 2 m m 1 lim e 0 z 1 e z 1 e 2 g displaystyle lim varepsilon to 0 frac zeta 1 varepsilon zeta 1 varepsilon 2 gamma g 3 2 ln 2 m 2 1 m m 1 m z m 1 displaystyle gamma frac 3 2 ln 2 sum m 2 infty 1 m frac m 1 m zeta m 1 lim n 2 n 1 2 n ln n k 2 n 1 k z 1 k n k displaystyle lim n to infty left frac 2 n 1 2 n ln n sum k 2 n left frac 1 k frac zeta 1 k n k right right dd lim n 2 n e 2 n m 0 2 m n m 1 t 0 m 1 t 1 n ln 2 O 1 2 n e 2 n displaystyle lim n to infty left frac 2 n e 2 n sum m 0 infty frac 2 m n m 1 sum t 0 m frac 1 t 1 n ln 2 O left frac 1 2 n e 2 n right right dd g lim s 1 n 1 1 n s 1 s n lim s 1 z s 1 s 1 displaystyle gamma lim s to 1 sum n 1 infty left frac 1 n s frac 1 s n right lim s to 1 left zeta s frac 1 s 1 right g lim x x G 1 x displaystyle gamma lim x to infty left x Gamma left frac 1 x right right lim n 1 n k 1 n n k n k displaystyle lim n to infty frac 1 n sum k 1 n left left lceil frac n k 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frac 1 k right right g 1 k 2 1 k log 2 k k 1 displaystyle gamma 1 sum k 2 infty 1 k frac lfloor log 2 k rfloor k 1 g k 2 1 k log 2 k k 1 2 1 3 2 1 4 1 5 1 6 1 7 3 1 8 1 15 displaystyle gamma sum k 2 infty 1 k frac left lfloor log 2 k right rfloor k tfrac 1 2 tfrac 1 3 2 left tfrac 1 4 tfrac 1 5 tfrac 1 6 tfrac 1 7 right 3 left tfrac 1 8 dots tfrac 1 15 right dots g z 2 k 1 1 k k 2 1 1 2 1 3 1 4 1 4 1 8 1 9 1 9 1 15 displaystyle gamma zeta 2 sum k 1 infty frac 1 k lfloor sqrt k rfloor 2 1 tfrac 1 2 tfrac 1 3 tfrac 1 4 left tfrac 1 4 dots tfrac 1 8 right tfrac 1 9 left tfrac 1 9 dots tfrac 1 15 right dots g k 2 k k 2 k 2 k 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 1 5 2 2 6 2 3 7 2 4 8 2 1 3 2 1 10 2 6 15 2 displaystyle gamma sum k 2 infty frac k lfloor sqrt k rfloor 2 k 2 lfloor sqrt k rfloor 2 tfrac 1 2 2 tfrac 2 3 2 tfrac 1 2 2 left tfrac 1 5 2 tfrac 2 6 2 tfrac 3 7 2 tfrac 4 8 2 right tfrac 1 3 2 left tfrac 1 10 2 dots tfrac 6 15 2 right dots g 0 1 1 1 x n 1 x 2 n 1 d x displaystyle gamma int 0 1 frac 1 1 x sum n 1 infty x 2 n 1 dx g displaystyle gamma 的连分数展开式为 g 0 1 1 2 1 2 1 4 3 13 5 1 1 8 1 2 4 1 1 40 displaystyle gamma 0 1 1 2 1 2 1 4 3 13 5 1 1 8 1 2 4 1 1 40 OEIS數列A002852 渐近展开式 编辑 g H n ln n 1 2 n 1 12 n 2 1 120 n 4 displaystyle gamma approx H n ln left n right frac 1 2n frac 1 12n 2 frac 1 120n 4 g H n ln n 1 2 1 24 n 1 48 n 3 displaystyle gamma approx H n ln left n frac 1 2 frac 1 24n frac 1 48n 3 right g H n ln n ln n 1 2 1 6 n n 1 1 30 n 2 n 1 2 displaystyle gamma approx H n frac ln left n right ln left n 1 right 2 frac 1 6n left n 1 right frac 1 30n 2 left n 1 right 2 已知位数 编辑g displaystyle boldsymbol gamma 的已知位数 日期 位数 计算者1734年 5 莱昂哈德 欧拉1736年 15 莱昂哈德 欧拉1790年 19 洛倫佐 馬斯凱羅尼1809年 24 Johann G von Soldner1812年 40 F B G Nicolai1861年 41 Oettinger1869年 59 William Shanks1871年 110 William Shanks1878年 263 约翰 柯西 亚当斯1962年 1 271 高德纳1962年 3 566 D W Sweeney1977年 20 700 Richard P Brent1980年 30 100 Richard P Brent和埃德温 麦克米伦1993年 172 000 Jonathan Borwein1997年 1 000 000 Thomas Papanikolaou1998年12月 7 286 255 Xavier Gourdon1999年10月 108 000 000 Xavier Gourdon和Patrick Demichel2006年7月16日 2 000 000 000 Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo2006年12月8日 116 580 041 Alexander J Yee2007年7月15日 5 000 000 000 Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo2008年1月1日 1 001 262 777 Richard B Kreckel2008年1月3日 131 151 000 Nicholas D Farrer2008年6月30日 10 000 000 000 Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo2009年1月18日 14 922 244 771 Alexander J Yee和Raymond Chan2009年3月13日 29 844 489 545 Alexander J Yee和Raymond Chan2013年 119 377 958 182 Alexander J Yee2016年 160 000 000 000 Peter Trueb2016年 250 000 000 000 Ron Watkins2017年 477 511 832 674 Ron Watkins2020年 600 000 000 100 Seungmin Kim和Ian Cutress相关证明 编辑 g 0 e x ln x d x displaystyle gamma int 0 infty e x ln x dx 的证明 首先根据放缩法 k k 1 1 x d x lt 1 k lt k 1 k 1 x d x displaystyle int k k 1 frac 1 x dx lt frac 1 k lt int k 1 k frac 1 x dx 容易知道 k k 1 1 x d x 1 k lt 1 k k 1 displaystyle int k k 1 frac 1 x dx frac 1 k lt frac 1 k k 1 以及ln n lt k 1 n 1 k lt 1 ln n displaystyle ln n lt sum k 1 n frac 1 k lt 1 ln n 因此g displaystyle gamma 存在并有限 k 1 n 1 k displaystyle sum k 1 n frac 1 k k 1 n 0 1 t k 1 d t displaystyle sum k 1 n int 0 1 t k 1 dt 0 1 k 1 n t k 1 d t displaystyle int 0 1 sum k 1 n t k 1 dt 0 1 1 t n 1 t d t displaystyle int 0 1 frac 1 t n 1 t dt n 0 1 1 x n n 1 1 x n d 1 x n displaystyle int n 0 frac 1 left 1 frac x n right n 1 left 1 frac x n right d left 1 tfrac x n right n 0 1 1 x n n x n 1 n d x displaystyle int n 0 frac 1 left 1 frac x n right n frac x n left frac 1 n right dx 0 n 1 1 x n n x d x displaystyle int 0 n frac 1 left 1 frac x n right n x dx 而ln n 1 n 1 x d x displaystyle ln n int 1 n frac 1 x dx 所以g lim n k 1 n 1 k ln n displaystyle gamma lim n to infty left sum k 1 n frac 1 k ln n right lim n 0 n 1 1 x n n x d x 1 n 1 x d x displaystyle lim n to infty left int 0 n frac 1 1 x n n x dx int 1 n frac 1 x dx right lim n 0 1 1 1 x n n x d x 1 n 1 x n n x displaystyle lim n to infty left int 0 1 frac 1 1 x n n x dx int 1 n frac 1 x n n x right 0 1 1 lim n 1 x n n x d x 1 lim n 1 x n n x displaystyle int 0 1 frac 1 lim n to infty 1 x n n x dx int 1 infty frac lim n to infty 1 x n n x 单调收敛定理 0 1 1 e x x d x 1 e x x displaystyle int 0 1 frac 1 e x x dx int 1 infty frac e x x 1 e x ln x 0 1 0 1 ln x d 1 e x e x ln x 1 1 ln x d e x displaystyle left 1 e x ln x right 0 1 int 0 1 ln x d 1 e x left e x ln x right 1 infty int 1 infty ln x de x 0 e x ln x d x displaystyle int 0 infty e x ln x dx 參考文獻 编辑 A001620 oeis org 2014 7 17 Havil 2003 p 97 Borwein Jonathan M David M Bradley Richard E Crandall Computational Strategies for the Riemann Zeta Function PDF Journal of Computational and Applied Mathematics 2000 121 11 2014 07 17 doi 10 1016 s0377 0427 00 00336 8 原始内容 PDF 存档于2006 09 25 Derives g as sums over Riemann zeta functions Gourdon Xavier and Sebah P 2002 Collection of formulas for Euler s constant g 页面存档备份 存于互联网档案馆 Gourdon Xavier and Sebah P 2004 The Euler constant g 页面存档备份 存于互联网档案馆 Donald Knuth 1997 The Art of Computer Programming Vol 1 3rd ed 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