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機率密度函數

数学中,连续型随机变量概率密度函數Probability density function,簡寫作PDF [1]),在不致於混淆时可简称为密度函数,是一个描述这个随机变量的输出值,在某个确定的取值点附近的可能性的函数。圖中,橫軸為隨機變量的取值,縱軸為概率密度函數的值,而随机变量的取值落在某个区域内的概率為概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候,累積分佈函數是概率密度函数的积分。

盒状图与概率密度函数展示的正态分布 N(0, σ2).

概率密度函数有时也被称为概率分布函数,但这种称法可能会和累积分布函数(CDF)或概率质量函数(PMF)混淆。

常见定义

对于一维实随机变量X,设它的累积分布函数是 。如果存在可测函数  ,满足:

 

那么X 是一个连续型随机变量,并且 是它的概率密度函数。[2]

性质

连续型随机变量的概率密度函数有如下性质:

  •  
  •  
  •  

如果概率密度函数 在一点 连续,那么累积分布函数可导,并且它的导数 

由于随机变量X的取值  只取决于概率密度函数的积分,所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。更准确来说,如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0(是一个零测集),那么这个函数也可以是X的概率密度函数。

连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论,连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是,概率

 

 并不是不可能事件。[2]

例子

 
连续型均匀分布的概率密度函数

最简单的概率密度函数是均匀分布的密度函数。对于一个取值在区间 上的均匀分布函数 ,它的概率密度函数:

 

也就是说,当x 不在区间 上的时候,函数值等于0,而在区间 上的时候,函数值等于  。这个函数并不是完全的连续函数,但是是可积函数。

 
正态分布的概率密度函数

正态分布是重要的概率分布。它的概率密度函数是:

 

随着参数  变化,概率分布也产生变化。

应用

随机变量X的n阶是X的n次方的期望值,即

 

X的方差

 

更广泛的说,设  为一个有界连续函数,那么随机变量 的数学期望

 [3]

特征函数

對機率密度函數作类似傅立葉變換可得特徵函數

 

特徵函數與機率密度函數有一對一的關係。因此,知道一個分佈的特徵函數就等同於知道一個分佈的機率密度函數。[4]

參見

参考文献

引用

  1. ^ Shaou-Gang Miaou; Jin-Syan Chou. 《Fundamentals of probability and statistics》. 高立圖書. 2012: 第98頁. ISBN 9789864128990. 
  2. ^ 2.0 2.1 章昕、邹本腾、漆毅、王奕清. 概率统计双博士课堂(浙大3版概率论与数理统计). 机械工业出版社. 2003. ISBN 7-111-12834-6. 
  3. ^ 邵宇. 《微观金融学及其数学基础》. 清华大学出版社. 2004: 398–400. ISBN 7-302-07627-8. 
  4. ^ 邵宇. 《微观金融学及其数学基础》. 清华大学出版社. 2004: 417–418. ISBN 7-302-07627-8. 

书籍

機率密度函數, 在数学中, 连续型随机变量的概率密度函數, probability, density, function, 簡寫作pdf, 在不致於混淆时可简称为密度函数, 是一个描述这个随机变量的输出值, 在某个确定的取值点附近的可能性的函数, 圖中, 橫軸為隨機變量的取值, 縱軸為概率密度函數的值, 而随机变量的取值落在某个区域内的概率為概率密度函数在这个区域上的积分, 当概率密度函数存在的时候, 累積分佈函數是概率密度函数的积分, 以盒状图与概率密度函数展示的正态分布, 概率密度函数有时也被称为概率分布函数,. 在数学中 连续型随机变量的概率密度函數 Probability density function 簡寫作PDF 1 在不致於混淆时可简称为密度函数 是一个描述这个随机变量的输出值 在某个确定的取值点附近的可能性的函数 圖中 橫軸為隨機變量的取值 縱軸為概率密度函數的值 而随机变量的取值落在某个区域内的概率為概率密度函数在这个区域上的积分 当概率密度函数存在的时候 累積分佈函數是概率密度函数的积分 以盒状图与概率密度函数展示的正态分布 N 0 s2 概率密度函数有时也被称为概率分布函数 但这种称法可能会和累积分布函数 CDF 或概率质量函数 PMF 混淆 目录 1 常见定义 1 1 性质 2 例子 3 应用 4 特征函数 5 參見 6 参考文献 6 1 引用 6 2 书籍常见定义 编辑对于一维实随机变量X 设它的累积分布函数是F X x displaystyle F X x 如果存在可测函数 f X x displaystyle f X x 满足 lt a lt F X a a f X x d x displaystyle forall infty lt a lt infty quad F X a int infty a f X x dx 那么X 是一个连续型随机变量 并且f X x displaystyle f X x 是它的概率密度函数 2 性质 编辑 连续型随机变量的概率密度函数有如下性质 lt x lt f X x 0 displaystyle forall infty lt x lt infty quad f X x geq 0 f X x d x 1 displaystyle int infty infty f X x dx 1 lt a lt b lt P a lt X b F X b F X a a b f X x d x displaystyle forall infty lt a lt b lt infty quad mathbb P left a lt X leq b right F X b F X a int a b f X x dx 如果概率密度函数f X x displaystyle f X x 在一点x displaystyle x 上连续 那么累积分布函数可导 并且它的导数 F X x f X x displaystyle F X prime x f X x 由于随机变量X的取值P a lt X b displaystyle mathbb P left a lt X leq b right 只取决于概率密度函数的积分 所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现 更准确来说 如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个 可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0 是一个零测集 那么这个函数也可以是X的概率密度函数 连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0 作为推论 连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关 要注意的是 概率 P X a 0 displaystyle mathbb P left X a right 0 但 X a displaystyle X a 并不是不可能事件 2 例子 编辑 连续型均匀分布的概率密度函数 最简单的概率密度函数是均匀分布的密度函数 对于一个取值在区间 a b displaystyle a b 上的均匀分布函数I a b displaystyle mathbf I a b 它的概率密度函数 f I a b x 1 b a I a b displaystyle f mathbf I a b x frac 1 b a mathbf I a b 也就是说 当x 不在区间 a b displaystyle a b 上的时候 函数值等于0 而在区间 a b displaystyle a b 上的时候 函数值等于1 b a displaystyle scriptstyle frac 1 b a 这个函数并不是完全的连续函数 但是是可积函数 正态分布的概率密度函数 正态分布是重要的概率分布 它的概率密度函数是 f x 1 s 2 p e x m 2 2 s 2 displaystyle f x 1 over sigma sqrt 2 pi e x mu 2 over 2 sigma 2 随着参数m displaystyle mu 和s displaystyle sigma 变化 概率分布也产生变化 应用 编辑随机变量X的n阶矩是X的n次方的期望值 即 E X n x n f X x d x displaystyle mathbb E X n int infty infty x n f X x dx X的方差为 s X 2 E X E X 2 x E X 2 f X x d x displaystyle sigma X 2 mathbb E left left X mathbb E X right 2 right int infty infty x E X 2 f X x dx 更广泛的说 设g displaystyle g 为一个有界连续函数 那么随机变量g X displaystyle g X 的数学期望 E g X g x f X x d x displaystyle mathbb E g X int infty infty g x f X x dx 3 特征函数 编辑對機率密度函數作类似傅立葉變換可得特徵函數 F X j w f x e j w x d x displaystyle Phi X j omega int infty infty f x e j omega x dx 特徵函數與機率密度函數有一對一的關係 因此 知道一個分佈的特徵函數就等同於知道一個分佈的機率密度函數 4 參見 编辑概率分布 概率质量函数 累积分布函数 条件概率密度函数 核密度估计 似然函数参考文献 编辑引用 编辑 Shaou Gang Miaou Jin Syan Chou Fundamentals of probability and statistics 高立圖書 2012 第98頁 ISBN 9789864128990 引文使用过时参数coauthors 帮助 2 0 2 1 章昕 邹本腾 漆毅 王奕清 概率统计双博士课堂 浙大3版概率论与数理统计 机械工业出版社 2003 ISBN 7 111 12834 6 邵宇 微观金融学及其数学基础 清华大学出版社 2004 398 400 ISBN 7 302 07627 8 邵宇 微观金融学及其数学基础 清华大学出版社 2004 417 418 ISBN 7 302 07627 8 书籍 编辑 钟开莱 概率论教程 上海科学技术出版社 1989 ISBN 7 5323 0648 8 取自 https zh wikipedia org w index php title 機率密度函數 amp oldid 71546946, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,

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