极限, 数学, 关于与, 標題相近或相同的条目, 請見, 极限, 极限, 英語, limit, 是數學分析或微積分的重要基础概念, 连续和导数的都是通过极限来定义的, 極限分為描述一个序列的下標愈來越大时的趋势, 序列極限, 或是描述函数的自变量接趨近某個值的时函数值的趋势, 函數極限, 函数极限可以推广到网中, 而数列的极限则与范畴论中的极限和有向极限密切相关, 目录, 概念, 数列极限, 函数极限, 实函数在有限处的极限, 实函数在无穷远处的极限, 符号, 性质, 推广, 拓扑网, 范畴论, 外部連結概念, 编. 关于与 极限 数学 標題相近或相同的条目 請見 极限 极限 英語 Limit 是數學分析或微積分的重要基础概念 连续和导数的都是通过极限来定义的 極限分為描述一个序列的下標愈來越大时的趋势 序列極限 或是描述函数的自变量接趨近某個值的时函数值的趋势 函數極限 函数极限可以推广到网中 而数列的极限则与范畴论中的极限和有向极限密切相关 目录 1 概念 1 1 数列极限 1 2 函数极限 1 2 1 实函数在有限处的极限 1 2 2 实函数在无穷远处的极限 2 符号 3 性质 4 推广 4 1 拓扑网 4 2 范畴论 5 外部連結概念 编辑数列极限 编辑 主条目 極限 數列 以数列 sequence a n 1 n displaystyle a n frac 1 n 为例 直觀上随着n的增大 a n displaystyle a n 越来越接近0 于是可以认为0是这个序列的 极限 以下的嚴格定義來自於柯西 Cauchy 设 a n R n N displaystyle a n in mathbb R n in mathbb N 若對任意ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 存在m N displaystyle m in mathbb N 使得当i gt m displaystyle i gt m 时 有 a n a lt ϵ displaystyle a n a lt epsilon 以邏輯符号来表示即為 ϵ gt 0 m N n N n gt m x n x 0 lt ϵ displaystyle forall epsilon gt 0 exists m in mathbb N forall n in mathbb N n gt m Rightarrow x n x 0 lt epsilon 则称数列 a n n N displaystyle a n n in mathbb N 收敛于 a displaystyle a 记作 lim n a n a displaystyle lim n to infty a n a 或 a n a displaystyle a n rightarrow a 這時也稱這個數列是收斂的 反之稱為發散 可以證明極限是唯一的 也就是 a n a a n a a a displaystyle a n to a wedge a n to a prime Rightarrow a a prime 這個嚴謹定義直觀上 說不論把 差距範圍 ϵ displaystyle epsilon 取得多小 從某項 a n displaystyle a n 會跟 a displaystyle a 的距離都會比 ϵ displaystyle epsilon 小 函数极限 编辑 主条目 函數極限 考慮定義域為 R displaystyle mathbb R 對應規則為 f x x x 2 1 displaystyle f x frac x x 2 1 的函數在 x displaystyle x 趋向 2 displaystyle 2 的时候的性质 此時 f displaystyle f 於 2 displaystyle 2 是有定义的 f 1 9 f 1 99 f 1 999 f 2 f 2 001 f 2 01 f 2 1 0 4121 0 4012 0 4001 displaystyle Rightarrow 0 4 displaystyle Leftarrow 0 3998 0 3988 0 3882当x displaystyle x 趋向2 displaystyle 2 的时候 函数值似乎趋向0 4 displaystyle 0 4 因此我们有 极限 0 4 displaystyle 0 4 正好就是 f 2 displaystyle f 2 這種情況我們稱為在 x 2 displaystyle x 2 連續 但有時趨近 極限 不會是那個函數值 考虑定義域為 R displaystyle mathbb R 對應規則為 g x x x 2 1 x 2 0 x 2 displaystyle g x begin cases dfrac x x 2 1 amp x neq 2 0 amp x 2 end cases 的函數 那么当 x displaystyle x 趋于 2 displaystyle 2 的时候 g x displaystyle g x 的极限似乎与前面的 f x displaystyle f x 相同都是0 4 displaystyle 0 4 但 g 2 0 4 displaystyle g 2 neq 0 4 这就是说 g x displaystyle g x 在 x 2 displaystyle x 2 是不连续 有時趨近的點甚至是不在定義域裡 也就是無定義 考慮到算式 本質上是一階邏輯中的項 所以下面以冒號來代表符號辨識上的定義 而非 數字 意義上的相等 T x 1 x 1 displaystyle T frac x 1 sqrt x 1 当 x 1 displaystyle x 1 时 算式 T displaystyle T 等於零除以零而没有定义 但以 T displaystyle T 有定義的最大定義域 R 1 displaystyle mathbb R 1 去除 1 displaystyle 1 的實數系 跟對應規則 f x T displaystyle f x T 來定義的函數 f displaystyle f 趨近於 1 displaystyle 1 的 极限 似乎是 2 displaystyle 2 f 0 9 f 0 99 f 0 999 f 1 0 f 1 001 f 1 01 f 1 1 1 95 1 99 1 999 displaystyle Rightarrow 未定义 displaystyle Leftarrow 2 001 2 010 2 10实函数在有限处的极限 编辑 若 f displaystyle f 是一个实函数 也就是定义域和值域都包含於實數系 L R displaystyle L in mathbb R 那么 lim x c f x L displaystyle lim x to c f x L 定義為 對所有的e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 都存在 d gt 0 displaystyle delta gt 0 使得 對任意 x D f displaystyle x in D f 满足0 lt x c lt d displaystyle 0 lt x c lt delta 时會有 f x L lt e displaystyle f x L lt varepsilon 以邏輯符号来表示即為 ϵ gt 0 d gt 0 x D f 0 lt x c lt d f x L lt ϵ displaystyle forall epsilon gt 0 exists delta gt 0 forall x in D f 0 lt x c lt delta Rightarrow f x L lt epsilon 实函数在无穷远处的极限 编辑 与函数趋于某个给定值时的极限概念相关的是函数在无穷远处的概念 这个概念不能从字面上直接理解为 x displaystyle x 距离无穷远越来越小的状态 因为无穷不是一个给定的数 也不能比较距离无穷的远近 因此 我们用x displaystyle x 越来越大 如果讨论正无穷时 来替代 例如考虑f x 2 x x 1 displaystyle f x frac 2x x 1 f 100 1 9802 displaystyle f 100 1 9802 f 1000 1 9980 displaystyle f 1000 1 9980 f 10000 1 9998 displaystyle f 10000 1 9998 当x displaystyle x 非常大的时候 f x displaystyle f x 的值会趋于2 displaystyle 2 事实上 f x displaystyle f x 与2 displaystyle 2 之间的距离可以变得任意小 只要我们选取一个足够大的x displaystyle x 就可以了 此时 我们称f x displaystyle f x 趋向于 正 无穷时的极限是2 displaystyle 2 可以写为 lim x f x 2 displaystyle lim x to infty f x 2 形式上 我们可以定义 lim x f x L displaystyle lim x to infty f x L 為 ϵ gt 0 d gt 0 x D f d lt x f x L lt ϵ displaystyle forall epsilon gt 0 exists delta gt 0 forall x in D f delta lt x Rightarrow f x L lt epsilon 类似地 我们也可以定义 lim x f x L displaystyle lim x to infty f x L 為 ϵ gt 0 d lt 0 x D f x lt d f x L lt ϵ displaystyle forall epsilon gt 0 exists delta lt 0 forall x in D f x lt delta Rightarrow f x L lt epsilon 符号 编辑极限的符号为lim 它出自拉丁文limit 界限 的前三个字母 在1786年出版的德国人浏伊连 S L Huilier 的书中 第一次使用这个符号 不过 x趋于a 当时都记作 x a 直到20世纪人们才逐渐用 替代 英国近代数学家哈代是第一个使用现代极限符号的人 性质 编辑lim n c S f n S lim n c f n displaystyle lim n to c S cdot f n S cdot lim n to c f n 这里S是个內积算法 lim n c b f n b lim n c f n displaystyle lim n to c b f n b lim n to c f n 这里b是常量 以下规则只有当等号右边的极限存在并且不为无穷时才成立 lim n c f n g n lim n c f n lim n c g n displaystyle lim n to c f n g n lim n to c f n lim n to c g n lim n c f n g n lim n c f n lim n c g n displaystyle lim n to c f n g n lim n to c f n lim n to c g n lim n c f n g n lim n c f n lim n c g n displaystyle lim n to c f n cdot g n lim n to c f n cdot lim n to c g n lim n c f n g n lim n c f n lim n c g n displaystyle lim n to c frac f n g n frac displaystyle lim n to c f n displaystyle lim n to c g n 推广 编辑拓扑网 编辑 主条目 网 数学 在引入网的概念下 上述的定义可以毫无障碍地推广到任何拓扑空间 事实上 现代数学中的极限概念就是定义在拓扑空间上的 上述的例子都是拓扑空间的具体化 范畴论 编辑 主条目 极限 范畴论 范畴论中许多泛性质也可从极限来理解 范畴论极限分为极限与余极限 又称上极限 彼此的定义相对偶 外部連結 编辑埃里克 韦斯坦因 Limit MathWorld Mathwords Limit 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 极限 数学 amp oldid 72903557, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,