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^Evidence for a Critical Velocity in a Bose–Einstein Condensed Gas C. Raman, M. Köhl, R. Onofrio, D. S. Durfee, C. E. Kuklewicz, Z. Hadzibabic, and W. Ketterle
Theory of Bose_Einstein condensation in trapped gases Franco Dalfovo and Stafano Giorgini Reviews Modern Physics
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四月 10, 2023
格罗斯, 皮塔耶夫斯基方程, gross, pitaevskii, 方程, 以尤金, 格罗斯, 英语, eugene, gross, 命名, 与列夫, 皮塔耶夫斯基, 英语, pitaevskii, 描述了全同玻色子量子体系的基态, 其中使用了哈特里, 福克近似与赝势相互作用模型, 在哈特里, 福克近似中, displaystyle, 个玻色子体系的总波函数Ψ, displaystyle, 为单粒子波函数ψ, displaystyle, 之积, displaystyle, mathbf, mathbf, dots,. 格罗斯 皮塔耶夫斯基方程 Gross Pitaevskii 方程 以尤金 格罗斯 英语 Eugene P Gross 命名 1 与列夫 皮塔耶夫斯基 英语 Lev Pitaevskii 2 描述了全同玻色子量子体系的基态 其中使用了哈特里 福克近似与赝势相互作用模型 在哈特里 福克近似中 N displaystyle N 个玻色子体系的总波函数PS displaystyle Psi 为单粒子波函数ps displaystyle psi 之积 PS r 1 r 2 r N ps r 1 ps r 2 ps r N displaystyle Psi mathbf r 1 mathbf r 2 dots mathbf r N psi mathbf r 1 psi mathbf r 2 dots psi mathbf r N 其中r i displaystyle mathbf r i 为第i displaystyle i 个玻色子的坐标 赝势模型下的哈密顿量为 H i 1 N ℏ 2 2 m 2 r i 2 V r i i lt j 4 p ℏ 2 a s m d r i r j displaystyle H sum i 1 N left hbar 2 over 2m partial 2 over partial mathbf r i 2 V mathbf r i right sum i lt j 4 pi hbar 2 a s over m delta mathbf r i mathbf r j 其中m displaystyle m 为玻色子质量 V displaystyle V 为外势场 a s displaystyle a s 为玻色子 玻色子散射长度 d r displaystyle delta mathbf r 为狄拉克d函数 如果单粒子波函数满足格罗斯 皮塔耶夫斯基方程 ℏ 2 2 m 2 r 2 V r 4 p ℏ 2 a s m ps r 2 ps r m ps r displaystyle left frac hbar 2 2m partial 2 over partial mathbf r 2 V mathbf r 4 pi hbar 2 a s over m vert psi mathbf r vert 2 right psi mathbf r mu psi mathbf r 则总波函数在归一化条件 d V ps 2 N displaystyle int dV psi 2 N 下可以使赝势模型哈密顿量的总能量最小 格罗斯 皮塔耶夫斯基方程是描述玻色 爱因斯坦凝聚单粒子波函数的模型方程 它有类似金兹堡 朗道方程的形式 也会被称为非线性薛定谔方程 玻色 爱因斯坦凝聚 BEC 是处于同一量子态的玻色气体可以由同一个波函数进行描述 单个粒子可有单粒子波函数描述 真实气体中粒子相互作用包含在相应的多体薛定谔方程当中 当气体中粒子间距大于散射长度 即所谓的稀薄极限 时 真实的相互作用势就可以被替换为赝势 格罗斯 皮塔耶夫斯基方程的非线性来源于粒子间的相互作用 当把方程中相互作用的耦合常数设为零时 非线性消失 方程以描述单粒子在势阱中的单粒子薛定谔方程的形式出现 目录 1 方程形式 2 方程解 2 1 精确解 2 1 1 自由粒子 2 1 2 孤子 2 1 3 一维方势阱 2 2 变分解 2 3 托马斯 费米近似 2 4 玻戈留玻夫近似 3 参考文献 4 更多阅读方程形式 编辑皮塔耶夫斯基方程的形式类似于一般薛定谔方程 但是多出一个相互作用项 耦合常数g displaystyle g 正比于两个相互作用玻色子间的散射长度a s displaystyle a s g 4 p ℏ 2 a s m displaystyle g frac 4 pi hbar 2 a s m 其中ℏ displaystyle hbar 为约化普朗克常数 能量密度为 E ℏ 2 2 m PS r 2 V r PS r 2 1 2 g PS r 4 displaystyle mathcal E frac hbar 2 2m vert nabla Psi mathbf r vert 2 V mathbf r vert Psi mathbf r vert 2 frac 1 2 g vert Psi mathbf r vert 4 其中PS displaystyle Psi 为波函数 V displaystyle V 为外部势场 对于体系内粒子数守恒的不含时格罗斯 皮塔耶夫斯基方程 m PS r ℏ 2 2 m 2 V r g PS r 2 PS r displaystyle mu Psi mathbf r left frac hbar 2 2m nabla 2 V mathbf r g vert Psi mathbf r vert 2 right Psi mathbf r 其中m displaystyle mu 为化学势 化学势是从粒子数与波函数间的关系中得到的 N PS r 2 d 3 r displaystyle N int vert Psi mathbf r vert 2 d 3 r 从不含时格罗斯 皮塔耶夫斯基方程中 我们可以求得各种外势场中玻色爱因斯坦凝聚的内部结构 例如 谐振子势阱 含时格罗斯 皮塔耶夫斯基方程为 i ℏ PS r t t ℏ 2 2 m 2 V r g PS r t 2 PS r t displaystyle i hbar frac partial Psi mathbf r t partial t left frac hbar 2 2m nabla 2 V mathbf r g vert Psi mathbf r t vert 2 right Psi mathbf r t 利用含时格罗斯 皮塔耶夫斯基方程人们可以研究玻色爱因斯坦凝聚的动力学问题 方程解 编辑鉴于格罗斯 皮塔耶夫斯基方程为非线性偏微分方程 一般很难求得解析解 大多数求解应用近似方法 精确解 编辑 自由粒子 编辑 最简单的情况是描述自由粒子 外势场V r 0 displaystyle V mathbf r 0 PS r N V e i k r displaystyle Psi mathbf r sqrt frac N V e i mathbf k cdot mathbf r 该解常被称为哈特里解 尽管它满足格罗斯 皮塔耶夫斯基方程 由于相互作用 其能谱中含有间隙 E k N ℏ 2 k 2 2 m g N 2 V displaystyle E mathbf k N left frac hbar 2 k 2 2m g frac N 2V right 根据Hugenholtz Pines定理 3 含斥力相互作用的玻色气体并无能量间隙 孤子 编辑 一维孤子可以构成玻色爱因斯坦凝聚 取决于相互作用是引力还是斥力 形成亮孤子或暗孤子 两种孤子都是均匀密度背景下的定域扰动 如若相互作用是斥力形式的 g gt 0 displaystyle g gt 0 格罗斯 皮塔耶夫斯基方程的可能解为 ps x ps 0 tanh x 2 3 displaystyle psi x psi 0 tanh left frac x sqrt 2 xi right 其中ps 0 displaystyle psi 0 为凝聚态波函数在无穷远处的值 3 ℏ 2 m n 0 g displaystyle xi hbar sqrt 2mn 0 g 为相干长度 此解代表暗孤子 它描述在空间上原本均匀分布的密度出现了缺失 暗孤子是一种拓扑缺陷 因为ps displaystyle psi 在经过原点处符号发生翻转 这对应了数学上p displaystyle pi 的相移 对于g lt 0 displaystyle g lt 0 ps x t ps 0 e i m t ℏ 1 cosh 2 m m ℏ 2 x displaystyle psi x t psi 0 e i mu t hbar frac 1 cosh left sqrt 2m vert mu vert hbar 2 x right 其中化学势为m g ps 0 2 2 displaystyle mu g vert psi 0 vert 2 2 此解为亮孤子 代表了空间上的凝聚 一维方势阱 编辑 变分解 编辑 对于难以得到精确解析解的体系 人们可以使用变分法 代入含某可调参数的已知波函数 求解体系自由能 找到使体系能量降为最低的参数 托马斯 费米近似 编辑 如果气体中粒子数量很多 原子间相互作用极大 以至于原子自身动能可以从格罗斯 皮塔耶夫斯基方程中忽略 此时近似为托马斯 费米近似 ps x t m V x N U 0 displaystyle psi x t sqrt frac mu V x NU 0 玻戈留玻夫近似 编辑 对格罗斯 皮塔耶夫斯基方程的玻戈留玻夫处理可以找到玻色爱因斯坦凝聚的元激子 凝聚态波函数可以近似为平衡态波函数ps 0 n e i m ℏ t displaystyle psi 0 sqrt n e i frac mu hbar t 与一个小的扰动d ps displaystyle delta psi 之和 ps ps 0 d ps displaystyle psi psi 0 delta psi 此波函数与其复共轭代入到含时格罗斯 皮塔耶夫斯基方程中 对d ps displaystyle delta psi 作展开近似到第一项 线性化 ℏ 2 2 m 2 d ps V d ps g 2 ps 0 2 d ps ps 2 d ps i ℏ d ps t displaystyle frac hbar 2 2m nabla 2 delta psi V delta psi g 2 psi 0 2 delta psi psi 2 delta psi i hbar frac partial delta psi partial t ℏ 2 2 m 2 d ps V d ps g 2 ps 0 2 d ps ps 2 d ps i ℏ d ps t displaystyle frac hbar 2 2m nabla 2 delta psi V delta psi g 2 psi 0 2 delta psi psi 2 delta psi i hbar frac partial delta psi partial t 假定d ps displaystyle delta psi 有如下形式 d ps e i m ℏ t u r e i w t v r e i w t displaystyle delta psi e i frac mu hbar t u boldsymbol r e i omega t v boldsymbol r e i omega t 可以得到如下u displaystyle u 和v displaystyle v 的耦合微分方程 ℏ 2 2 m 2 V 2 g n m ℏ w u g n v 0 displaystyle frac hbar 2 2m nabla 2 V 2gn mu hbar omega u gnv 0 ℏ 2 2 m 2 V 2 g n m ℏ w v g n u 0 displaystyle frac hbar 2 2m nabla 2 V 2gn mu hbar omega v gnu 0 对于各向同性体系 即V r 0 displaystyle V boldsymbol r 0 可以假设u displaystyle u 和v displaystyle v 是动量为q displaystyle boldsymbol q 的平面波 可得能谱 ℏ w ϵ q ℏ 2 q 2 2 m ℏ 2 q 2 2 m 2 g n displaystyle hbar omega epsilon boldsymbol q sqrt frac hbar 2 boldsymbol q 2 2m frac hbar 2 boldsymbol q 2 2m 2gn 当q displaystyle boldsymbol q 很大时 色散关系呈现为q displaystyle boldsymbol q 的平方 正如所料类似于非相互作用的激子 当q displaystyle boldsymbol q 很小 色散关系为线性 ϵ q s ℏ q displaystyle epsilon boldsymbol q s hbar q 其中s n g m displaystyle s sqrt ng m 为凝聚态中的声速 ϵ q ℏ q gt s displaystyle epsilon boldsymbol q hbar q gt s 表明 根据Landau的判则 该凝聚态为超流体 意味着如果一个物体在凝聚态中以小于s displaystyle s 的速度运动 它不会形成激子 运动无耗散 此为超流体的特征 实验上 采用高度聚焦激光 激光频率较共振频率小 已经证明了凝聚态的超流性 4 采用二次量子化公式 微观方法可以描述凝聚态同样的色散关系 参考文献 编辑 Gross E P Structure of a quantized vortex in boson systems Il Nuovo Cimento May 1961 20 3 454 457 doi 10 1007 BF02731494 Vortex Lines in an Imperfect Bose Gas Soviet Physics JETP 1961 13 2 451 454 2011 03 31 原始内容存档于2012 03 20 Hugenholtz N M Pines D Ground state energy and excitation spectrum of a system of interacting bosons Physical Review 1959 116 3 489 506 Bibcode 1959PhRv 116 489H doi 10 1103 PhysRev 116 489 引文使用过时参数coauthor 帮助 Evidence for a Critical Velocity in a Bose Einstein Condensed Gas C Raman M Kohl R Onofrio D S Durfee C E Kuklewicz Z Hadzibabic and W Ketterle Theory of Bose Einstein condensation in trapped gases Franco Dalfovo and Stafano Giorgini Reviews Modern Physics更多阅读 编辑Pethick C J amp Smith H Bose Einstein Condensation in Dilute Gases Cambridge Cambridge University Press 2002 ISBN 0521665809 Pitaevskii L P amp Stringari S Bose Einstein Condensation Oxford Clarendon Press 2003 ISBN 0198507194 取自 https zh wikipedia org w index php title 格罗斯 皮塔耶夫斯基方程 amp oldid 66996481, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,