树状数组

树状数组或二元索引树（英語：Binary Indexed Tree），又以其发明者命名为Fenwick树，最早由Peter M. Fenwick于1994年以A New Data Structure for Cumulative Frequency Tables^[1]为题发表在SOFTWARE PRACTICE AND EXPERIENCE。其初衷是解决数据压缩裡的累积频率（Cumulative Frequency）的计算问题，现多用于高效计算数列的前缀和， 区间和。它可以以${\displaystyle O(\log n)}$的时间得到任意前缀和${\displaystyle \sum _{i=1}^{j}A[i],1<=j<=N}$，并同时支持在${\displaystyle O(\log n)}$时间内支持动态单点值的修改。空间复杂度${\displaystyle O(n)}$。

根据数组[1, 2, 3, 4, 5]来创建对应的树状数组

结构起源

按照Peter M. Fenwick的说法，正如所有的整数都可以表示成2的幂和，我们也可以把一串序列表示成一系列子序列的和。采用这个想法，我们可将一个前缀和划分成多个子序列的和，而划分的方法与数的2的幂和具有极其相似的方式。一方面，子序列的个数是其二进制表示中1的个数，另一方面，子序列代表的f[i]的个数也是2的幂。^[2][3][4]

基本操作

预备函数

定义一个lowbit函数，返回参数转为二进制后,最后一个1的位置所代表的数值。

例如，lowbit(34)的返回值将是2；而lowbit(12)返回4；lowbit(8)返回8。

将34转为二进制为(0010 0010)₂。这里的“最后一个1”指的是从${\displaystyle 2^{0}}$ 位往前数，见到的第一个1，也就是${\displaystyle 2^{1}}$ 位上的1。

程序上，(~i + 1) & i表明了最后一位1的值。

仍然以34为例，~(0010 0010)的结果是1101 1101（221），加1后为1101 1110（222），把0010 0010与1101 1110作AND，得0000 0010（2）。

lowbit的一个简便求法:（C++）

int lowbit(int x) {  return x&(-x); } 

新建

定义一个数组 BIT，用以维护${\displaystyle A}$ 的前缀和，则：${\displaystyle BIT_{i}=\sum _{j=i-lowbit(i)+1}^{i}A_{j}}$ 

具体能用以下方式实现：（C++）

void build() {   for (int i = 1; i <= MAX_N; i++)  {  BIT[i] = A[i - 1];  for (int j = i - 2; j >= i - lowbit(i); j--)  BIT[i] += A[j];  } } //注：这里的求和将汇集到非终端结点（D00形式） //BIT中仅非终端结点i值是 第0~i元素的和 //终端结点位置的元素和，将在求和函数中求得 //BIT中的index，比原数组中大1 

修改

假设现在要将${\displaystyle A[i]}$ 的值增加delta，

那么，需要将${\displaystyle BIT[i]}$ 覆盖的区间包含${\displaystyle A[i]}$ 的值都加上delta，

这个过程可以写成递归，或者普通的循环。

需要计算的次数与数据规模N的二进制位数有关，即这部分的时间复杂度是${\displaystyle O(\log {N})}$ 。

修改函数的C++写法：

void edit(int i, int delta) {  for (int j = i; j <= MAX_N; j += lowbit(j))  BIT[j] += delta; } 

求和

假设我们需要计算${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}A_{i}}$ 的值。

1. 首先，将ans初始化为0，将i初始化为k。
2. 将ans的值加上BIT[i]。
3. 将i的值减去lowbit(i)。
4. 重复步骤2～3，直到i的值变为0。

求和函数的C/C++写法：

int sum (int k) {  int ans = 0;  for (int i = k; i > 0; i -= lowbit(i))  ans += BIT[i];  return ans; } 

时空复杂度

• 初始化复杂度最优为：${\displaystyle O(N)}$ 
• 单次询问复杂度：${\displaystyle O(\log N)}$ ，其中N为数组大小
• 单次修改复杂度：${\displaystyle O(\log N)}$ ，其中N为数组大小
• 空间复杂度：${\displaystyle O(N)}$ 

应用

求逆序对数^[5]

逆序对数是一个数列中在它前面有比它大的个数。如4312的逆序对数是0+1+2+2=5。

可以先把数列中的数按大小顺序转化成${\displaystyle 1}$ 到${\displaystyle n}$ 的整数，使得原数列成为一个${\displaystyle 1,2,...,n}$ 的排列${\displaystyle P}$ ，创建一个树状数组，用来记录这样一个数组${\displaystyle A}$ （下标从1算起）的前缀和：若排列中的数${\displaystyle i}$ 当前已经出现，则${\displaystyle A[i]}$ 的值为${\displaystyle 1}$ ，否则为${\displaystyle 0}$ 。初始时数组${\displaystyle A}$ 的值均为${\displaystyle 0}$ ，从排列中的最後一个数开始遍历，每次在树状数组中查询有多少个数小于当前的数${\displaystyle P[j]}$ （即用树状数组查询数组${\displaystyle A}$ 目前${\displaystyle P[j]-1}$ 个数的前缀和）并加入计数器，之后对树状数组执行修改数组${\displaystyle A}$ 第${\displaystyle P[j]}$ 个数值加${\displaystyle 1}$ 的操作。

参考文献

1. Peter M. Fenwick. A new data structure for cumulative frequency tables. Software: Practice and Experience. 1994, 24 (3): 327–336 [2015-10-24]. doi:10.1002/spe.4380240306. （原始内容于2021-02-25）. 
2. Binary indexed tree-树状数组. [2012-05-09]. （原始内容于2019-08-23）. 
3. Binary Indexed Trees. [2012-05-09]. （原始内容于2016-06-16）. 
4. . [2012-11-18]. （原始内容存档于2013-04-10）. 
5. 存档副本. [2012-05-11]. （原始内容于2019-11-30）.