柱諧函數, 此條目没有列出任何参考或来源, 2014年3月21日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, 在數學中, 是指在柱坐標中, 拉普拉斯方程, displaystyle, nabla, varphi, 的一系列的解, 每一個, displaystyle, varphi, 都是三個函數的積, displaystyle, varphi, varphi, 其中, displaystyle, varphi, 是柱坐標下的坐標, 分別為半徑. 此條目没有列出任何参考或来源 2014年3月21日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 在數學中 柱諧函數是指在柱坐標中 拉普拉斯方程 2 V r f z 0 displaystyle nabla 2 V rho varphi z 0 的一系列的解 每一個柱諧函數 V n k r f z displaystyle V n k rho varphi z 都是三個函數的積 V n k r f z P n k r F n f Z k z displaystyle V n k rho varphi z P n k rho Phi n varphi Z k z 其中 r f z displaystyle rho varphi z 是柱坐標下的坐標 分別為半徑 極角和高度 而 n 和 k 則是兩個常數 用以區分不同的柱諧函數 所有的柱諧函數一起 組成一組正交完備的基底 任何一個拉普拉斯方程的解都可以寫成這些函數的線性組合 有時候 柱諧函數也用來指代貝塞爾函數 柱諧函數最重要的組成部分 目录 1 定義 1 1 本徵方程的推導 1 2 本徵方程的求解 1 3 正交完備性 2 參見定義 编辑本徵方程的推導 编辑 柱坐標下的拉普拉斯方程為 2 V 1 r r r V r 1 r 2 2 V f 2 2 V z 2 0 displaystyle nabla 2 V frac 1 rho frac partial partial rho left rho frac partial V partial rho right frac 1 rho 2 frac partial 2 V partial varphi 2 frac partial 2 V partial z 2 0 使用分離變數法 設 V P r F f Z z displaystyle V P rho Phi varphi Z z 代入拉普拉斯方程 得到 F Z r d d r r d P d r P Z r 2 d 2 F d f 2 P F d 2 Z d z 2 0 displaystyle frac Phi Z rho frac d d rho rho frac dP d rho frac PZ rho 2 frac d 2 Phi d varphi 2 P Phi frac d 2 Z dz 2 0 分離變數後 可以寫成 1 P r d d r r d P d r 1 r 2 n 2 k 2 0 1 F d 2 F d f 2 n 2 1 Z d 2 Z d z 2 k 2 displaystyle begin cases frac 1 P rho frac d d rho rho frac dP d rho frac 1 rho 2 n 2 k 2 0 frac 1 Phi d 2 Phi d varphi 2 n 2 frac 1 Z d 2 Z dz 2 k 2 end cases 整理得 r 2 P r P k 2 r 2 n 2 P 0 F n 2 F 0 Z k 2 Z 0 displaystyle begin cases rho 2 P rho P k 2 rho 2 n 2 P 0 Phi n 2 Phi 0 Z k 2 Z 0 end cases 本徵方程的求解 编辑 這裡 F displaystyle Phi 是一個以2 p displaystyle 2 pi 為周期的函數 即滿足周期性邊界條件F f F f 2 p displaystyle Phi varphi Phi varphi 2 pi 因此n displaystyle n 必須為非負整數 可以解出 F n cos n f sin n f displaystyle Phi n cos n varphi sin n varphi n N displaystyle n in mathbb N 或 等價地 F n e i n f e i n f displaystyle Phi n e in varphi e in varphi n N displaystyle n in mathbb N 這裡 花括符表示 兩個解是簡併的 即對於一個n 方程有兩個線性獨立的解 n 0時除外 對於Z displaystyle Z 的方程 k displaystyle k 可以是任意一個複數 對於一個特定的k displaystyle k 方程有兩個線性獨立的解 若k是一個實數 則 Z k cosh k z sinh k z displaystyle Z k cosh kz sinh kz 或 等價地 Z k e k z e k z displaystyle Z k e kz e kz 若k是一個純虛數 則 Z k cos k z sin k z displaystyle Z k cos k z sin k z 或 等價地 Z k e i k z e i k z displaystyle Z k e i k z e i k z 對於周期性邊界條件 k取分立值 對於非周期性邊界條件 k取連續值 而P displaystyle P 的方程則是一個貝塞爾方程 它的解P n k displaystyle P n k 形式如下 若k 0 displaystyle k 0 則該方程簡化為一個歐拉方程 P 0 0 1 ln r displaystyle P 0 0 1 ln rho P n 0 r n r n n 0 displaystyle P n 0 rho n rho n n neq 0 若k displaystyle k 是一個非零實數 則方程的解為第一類和 或第二類貝塞爾函數 P n k J n k r Y n k r displaystyle P n k J n k rho Y n k rho 若k是一個純虛數 則方程的解為修正貝塞爾函數 P n k I n k r K n k r displaystyle P n k I n k rho K n k rho 最終 柱諧函數可以表達為以上三個函數的乘積 V n k P n k F n Z k displaystyle V n k P n k Phi n Z k 正交完備性 编辑 柱諧函數是正交完備的 正交性是指 0 d r 0 2 p d f d z V n k r 8 f V n k r 8 f 1 C n k 2 d n n d k k displaystyle int 0 infty d rho int 0 2 pi d varphi int infty infty dz left V n k rho theta varphi V n k rho theta varphi right frac 1 C n k 2 delta n n delta k k 其中 d n n displaystyle delta n n 和d k k displaystyle delta k k 為克羅內克符號 C n k displaystyle C n k 為歸一化系數 完備性是指 對於柱坐標下的任何一個拉普拉斯方程的解均可以寫成若干個柱諧函數的線性疊加 V r f z n k A n k V n k displaystyle V rho varphi z sum n k A n k V n k k取分立值 V r f z n d k A n k V n k displaystyle V rho varphi z sum n int dk A n k V n k k取連續值參見 编辑貝塞爾函數 球諧函數 取自 https zh wikipedia org w index php title 柱諧函數 amp oldid 55839859, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,