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极限 (数学)

极限(英語:Limit)是數學分析微積分的重要基础概念,连续导数都是通过极限来作定义。極限分為描述一个序列的下標愈來越大时的趋势(序列極限),或是描述函数自变量接趨近某個值時的函数值的趋势(函數極限)。

函数极限可以推广到中,而数列的极限则与范畴论中的极限和有向极限密切相关。

概念 编辑

数列极限 编辑

以数列(sequence)

 
为例,直觀上随着n的增大, 越来越接近0,于是可以认为0是这个序列的"极限"。以下的嚴格定義來自於柯西(Cauchy):设
 
若對任意 ,存在 ,使得当 时,有
 
以邏輯符号来表示即為
 
则称数列   收敛于   ,记作   。這時也稱這個數列是收斂的,反之稱為發散。可以證明極限是唯一的,也就是
 

這個嚴謹定義直觀上,說不論把"差距範圍"   取得多小,從某項   會跟   的距離都會比   小。

函数极限 编辑

考慮定義域為   ,對應規則為   的函數在   趋向   的时候的性质。此時    是有定义的。

f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)
0.4121 0.4012 0.4001   0.4   0.3998 0.3988 0.3882

 趋向 的时候,函数值似乎趋向 ,因此我们有 "极限"  ,正好就是   ,這種情況我們稱為在   "連續"。

但有時趨近"極限"不會是那個函數值,考虑定義域為   ,對應規則為

 

的函數,那么当   趋于   的时候, 的极限似乎与前面的   相同都是 。但  ,这就是说,    是不连续。

有時趨近的點甚至是不在定義域裡(也就是無定義),考慮到算式 ( 本質上是一階邏輯中的,所以下面以冒號來代表符號辨識上的定義,而非"數字"意義上的相等 )

 

  时,算式   等於零除以零而没有定义。但以   有定義的最大定義域   ( 去除   的實數系 ) , 跟對應規則   來定義的函數  , 趨近於   的"极限"似乎是  

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.95 1.99 1.999   未定义   2.001 2.010 2.10

实函数在有限处的极限 编辑

  是一个实函数 ( 也就是定义域值域都包含於實數系 ) , ,那么

 

ε-δ語言定義為:對所有的 ,都存在   使得:對任意   满足 时會有 。以邏輯符号来表示即為

 

实函数在无穷远处的极限 编辑

与函数趋于某个给定值时的极限概念相关的是函数在无穷远处的概念。这个概念不能从字面上直接理解为: 距离无穷远越来越小的状态,因为无穷不是一个给定的数,也不能比较距离无穷的远近。因此,我们用 越来越大(如果讨论正无穷时)来替代。

例如考虑 .

 
 
 

 非常大的时候, 的值会趋于 。事实上,  之间的距离可以变得任意小,只要我们选取一个足够大的 就可以了。此时,我们称 趋向于(正)无穷时的极限是 。可以写为

 

形式上,我们可以定义:

 

 

类似地,我们也可以定义:

 

 

符号 编辑

极限的符号为lim,它出自拉丁文limit(界限)的前三个字母。

在1786年出版的德国人浏伊连(S. L'Huilier)的书中,第一次使用这个符号。不过,“x趋于a”当时都记作“x=a”,直到20世纪人们才逐渐用“→”替代“=”。

英国近代数学家哈代是第一个使用现代极限符号的人。

性质 编辑

  •  ,这里S是个內积算法。
  •  ,这里b是常量。

以下规则只有当等号右边的极限存在并且不为无穷时才成立:

  •  
  •  
  •  
  •  

推广 编辑

拓扑网 编辑

在引入的概念下,上述的定义可以毫无障碍地推广到任何拓扑空间。事实上,现代数学中的极限概念就是定义在拓扑空间上的,上述的例子都是拓扑空间的具体化。

范畴论 编辑

范畴论中许多泛性质也可从极限来理解。范畴论极限分为极限与余极限(又称上极限),彼此的定义相对偶。

外部連結 编辑

极限, 数学, 本條目存在以下問題, 請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法, 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充, 2023年9月25日, 若您熟悉来源语言和主题, 请协助参考外语维基百科扩充条目, 请勿直接提交机械翻译, 也不要翻译不可靠, 低品质内容, 依版权协议, 译文需在编辑摘要注明来源, 或于讨论页顶部标记, href, template, translated, page, html, title, template, translated, page, translated, page, 标. 本條目存在以下問題 請協助改善本條目或在討論頁針對議題發表看法 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充 2023年9月25日 若您熟悉来源语言和主题 请协助参考外语维基百科扩充条目 请勿直接提交机械翻译 也不要翻译不可靠 低品质内容 依版权协议 译文需在编辑摘要注明来源 或于讨论页顶部标记 a href Template Translated page html title Template Translated page Translated page a 标签 此條目没有列出任何参考或来源 2023年9月25日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 关于与 极限 数学 標題相近或相同的条目 請見 极限 极限 英語 Limit 是數學分析或微積分的重要基础概念 连续和导数都是通过极限来作定义 極限分為描述一个序列的下標愈來越大时的趋势 序列極限 或是描述函数的自变量接趨近某個值時的函数值的趋势 函數極限 函数极限可以推广到网中 而数列的极限则与范畴论中的极限和有向极限密切相关 目录 1 概念 1 1 数列极限 1 2 函数极限 1 2 1 实函数在有限处的极限 1 2 2 实函数在无穷远处的极限 2 符号 3 性质 4 推广 4 1 拓扑网 4 2 范畴论 5 外部連結概念 编辑数列极限 编辑 主条目 極限 數列 以数列 sequence a n 1 n displaystyle a n frac 1 n nbsp 为例 直觀上随着n的增大 a n displaystyle a n nbsp 越来越接近0 于是可以认为0是这个序列的 极限 以下的嚴格定義來自於柯西 Cauchy 设 a n R n N displaystyle a n in mathbb R n in mathbb N nbsp 若對任意ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp 存在m N displaystyle m in mathbb N nbsp 使得当n gt m displaystyle n gt m nbsp 时 有 a n a lt ϵ displaystyle a n a lt epsilon nbsp 以邏輯符号来表示即為 ϵ gt 0 m N n N n gt m a n a lt ϵ displaystyle forall epsilon gt 0 exists m in mathbb N forall n in mathbb N n gt m Rightarrow a n a lt epsilon nbsp 则称数列 a n n N displaystyle a n n in mathbb N nbsp 收敛于 a displaystyle a nbsp 记作 lim n a n a displaystyle lim n to infty a n a nbsp 或 a n a displaystyle a n rightarrow a nbsp 這時也稱這個數列是收斂的 反之稱為發散 可以證明極限是唯一的 也就是 a n a a n a a a displaystyle a n to a wedge a n to a prime Rightarrow a a prime nbsp 這個嚴謹定義直觀上 說不論把 差距範圍 ϵ displaystyle epsilon nbsp 取得多小 從某項 a n displaystyle a n nbsp 會跟 a displaystyle a nbsp 的距離都會比 ϵ displaystyle epsilon nbsp 小 函数极限 编辑 主条目 函數極限 考慮定義域為 R displaystyle mathbb R nbsp 對應規則為 f x x x 2 1 displaystyle f x frac x x 2 1 nbsp 的函數在 x displaystyle x nbsp 趋向 2 displaystyle 2 nbsp 的时候的性质 此時 f displaystyle f nbsp 於 2 displaystyle 2 nbsp 是有定义的 f 1 9 f 1 99 f 1 999 f 2 f 2 001 f 2 01 f 2 1 0 4121 0 4012 0 4001 displaystyle Rightarrow nbsp 0 4 displaystyle Leftarrow nbsp 0 3998 0 3988 0 3882当x displaystyle x nbsp 趋向2 displaystyle 2 nbsp 的时候 函数值似乎趋向0 4 displaystyle 0 4 nbsp 因此我们有 极限 0 4 displaystyle 0 4 nbsp 正好就是 f 2 displaystyle f 2 nbsp 這種情況我們稱為在 x 2 displaystyle x 2 nbsp 連續 但有時趨近 極限 不會是那個函數值 考虑定義域為 R displaystyle mathbb R nbsp 對應規則為 g x x x 2 1 x 2 0 x 2 displaystyle g x begin cases dfrac x x 2 1 amp x neq 2 0 amp x 2 end cases nbsp 的函數 那么当 x displaystyle x nbsp 趋于 2 displaystyle 2 nbsp 的时候 g x displaystyle g x nbsp 的极限似乎与前面的 f x displaystyle f x nbsp 相同都是0 4 displaystyle 0 4 nbsp 但 g 2 0 4 displaystyle g 2 neq 0 4 nbsp 这就是说 g x displaystyle g x nbsp 在 x 2 displaystyle x 2 nbsp 是不连续 有時趨近的點甚至是不在定義域裡 也就是無定義 考慮到算式 本質上是一階邏輯中的項 所以下面以冒號來代表符號辨識上的定義 而非 數字 意義上的相等 T x 1 x 1 displaystyle T frac x 1 sqrt x 1 nbsp 当 x 1 displaystyle x 1 nbsp 时 算式 T displaystyle T nbsp 等於零除以零而没有定义 但以 T displaystyle T nbsp 有定義的最大定義域 R 1 displaystyle mathbb R 1 nbsp 去除 1 displaystyle 1 nbsp 的實數系 跟對應規則 f x T displaystyle f x T nbsp 來定義的函數 f displaystyle f nbsp 趨近於 1 displaystyle 1 nbsp 的 极限 似乎是 2 displaystyle 2 nbsp f 0 9 f 0 99 f 0 999 f 1 0 f 1 001 f 1 01 f 1 1 1 95 1 99 1 999 displaystyle Rightarrow nbsp 未定义 displaystyle Leftarrow nbsp 2 001 2 010 2 10实函数在有限处的极限 编辑 若 f displaystyle f nbsp 是一个实函数 也就是定义域和值域都包含於實數系 L R displaystyle L in mathbb R nbsp 那么 lim x c f x L displaystyle lim x to c f x L nbsp 用e d語言定義為 對所有的e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp 都存在 d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp 使得 對任意 x D f displaystyle x in D f nbsp 满足0 lt x c lt d displaystyle 0 lt x c lt delta nbsp 时會有 f x L lt e displaystyle f x L lt varepsilon nbsp 以邏輯符号来表示即為 ϵ gt 0 d gt 0 x D f 0 lt x c lt d f x L lt ϵ displaystyle forall epsilon gt 0 exists delta gt 0 forall x in D f 0 lt x c lt delta Rightarrow f x L lt epsilon nbsp 实函数在无穷远处的极限 编辑 与函数趋于某个给定值时的极限概念相关的是函数在无穷远处的概念 这个概念不能从字面上直接理解为 x displaystyle x nbsp 距离无穷远越来越小的状态 因为无穷不是一个给定的数 也不能比较距离无穷的远近 因此 我们用x displaystyle x nbsp 越来越大 如果讨论正无穷时 来替代 例如考虑f x 2 x x 1 displaystyle f x frac 2x x 1 nbsp f 100 1 9802 displaystyle f 100 1 9802 nbsp f 1000 1 9980 displaystyle f 1000 1 9980 nbsp f 10000 1 9998 displaystyle f 10000 1 9998 nbsp 当x displaystyle x nbsp 非常大的时候 f x displaystyle f x nbsp 的值会趋于2 displaystyle 2 nbsp 事实上 f x displaystyle f x nbsp 与2 displaystyle 2 nbsp 之间的距离可以变得任意小 只要我们选取一个足够大的x displaystyle x nbsp 就可以了 此时 我们称f x displaystyle f x nbsp 趋向于 正 无穷时的极限是2 displaystyle 2 nbsp 可以写为 lim x f x 2 displaystyle lim x to infty f x 2 nbsp 形式上 我们可以定义 lim x f x L displaystyle lim x to infty f x L nbsp 為 ϵ gt 0 d gt 0 x D f d lt x f x L lt ϵ displaystyle forall epsilon gt 0 exists delta gt 0 forall x in D f delta lt x Rightarrow f x L lt epsilon nbsp 类似地 我们也可以定义 lim x f x L displaystyle lim x to infty f x L nbsp 為 ϵ gt 0 d lt 0 x D f x lt d f x L lt ϵ displaystyle forall epsilon gt 0 exists delta lt 0 forall x in D f x lt delta Rightarrow f x L lt epsilon nbsp 符号 编辑极限的符号为lim 它出自拉丁文limit 界限 的前三个字母 在1786年出版的德国人浏伊连 S L Huilier 的书中 第一次使用这个符号 不过 x趋于a 当时都记作 x a 直到20世纪人们才逐渐用 替代 英国近代数学家哈代是第一个使用现代极限符号的人 性质 编辑lim n c S f n S lim n c f n displaystyle lim n to c S cdot f n S cdot lim n to c f n nbsp 这里S是个內积算法 lim n c b f n b lim n c f n displaystyle lim n to c b f n b lim n to c f n nbsp 这里b是常量 以下规则只有当等号右边的极限存在并且不为无穷时才成立 lim n c f n g n lim n c f n lim n c g n displaystyle lim n to c f n g n lim n to c f n lim n to c g n nbsp lim n c f n g n lim n c f n lim n c g n displaystyle lim n to c f n g n lim n to c f n lim n to c g n nbsp lim n c f n g n lim n c f n lim n c g n displaystyle lim n to c f n cdot g n lim n to c f n cdot lim n to c g n nbsp lim n c f n g n lim n c f n lim n c g n displaystyle lim n to c frac f n g n frac displaystyle lim n to c f n displaystyle lim n to c g n nbsp 推广 编辑拓扑网 编辑 主条目 网 数学 在引入网的概念下 上述的定义可以毫无障碍地推广到任何拓扑空间 事实上 现代数学中的极限概念就是定义在拓扑空间上的 上述的例子都是拓扑空间的具体化 范畴论 编辑 主条目 极限 范畴论 范畴论中许多泛性质也可从极限来理解 范畴论极限分为极限与余极限 又称上极限 彼此的定义相对偶 外部連結 编辑埃里克 韦斯坦因 Limit MathWorld Mathwords Limit 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 极限 数学 amp oldid 79852582, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,

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