杨氏不等式, 在数学上, 楊氏不等式, 指出, 假设, displaystyle, displaystyle, displaystyle, 和q, displaystyle, 是正实数, 且有1, displaystyle, frac, frac, 那么, displaystyle, frac, frac, 等号成立当且仅当, displaystyle, 因为这时a, displaystyle, over, over, over, over, 楊氏不等式是加权算术, 几何平均值不等式的特例, 也是证明赫爾德不等式的. 在数学上 楊氏不等式 指出 假设 a displaystyle a b displaystyle b p displaystyle p 和q displaystyle q 是正实数 且有1 p 1 q 1 displaystyle frac 1 p frac 1 q 1 那么 a b a p p b q q displaystyle ab leq frac a p p frac b q q 等号成立当且仅当 a p b q displaystyle a p b q 因为这时a b a b q 1 q a a p q a p a p p b q q displaystyle ab a b q 1 over q aa p over q a p a p over p b q over q 楊氏不等式是加权算术 几何平均值不等式的特例 也是证明赫爾德不等式的一个快捷方法 该不等式以威廉 亨利 杨 英语 William Henry Young 命名 证明 编辑我们知道函数f x e x displaystyle f x e x nbsp 是一个凸函数 因为它的二阶导数恒为正 从而我们有 a b e ln a e ln b e 1 p ln a p 1 q ln b q 1 p e ln a p 1 q e ln b q a p p b q q displaystyle ab e ln a e ln b e 1 over p ln a p 1 over q ln b q leq 1 over p e ln a p 1 over q e ln b q a p over p b q over q nbsp 这里我们使用了凸函数的一个性质 对任意 t displaystyle t nbsp 若 0 lt t lt 1 displaystyle 0 lt t lt 1 nbsp 则有 f t x 1 t y t f x 1 t f y displaystyle f tx 1 t y leq tf x 1 t f y nbsp 推广 编辑设ϕ R R displaystyle phi mathbb R rightarrow mathbb R nbsp 是一个连续 严格递增函数且 ϕ 0 0 displaystyle phi 0 0 nbsp 那么下面的不等式成立 a b 0 a ϕ x d x 0 b ϕ 1 y d y displaystyle ab leq int 0 a phi x dx int 0 b phi 1 y dy nbsp 观察ϕ x displaystyle phi x nbsp 的图形 很容易看出这个不等式的一个直观证明 以上两个积分式所表示的区域之和比由a displaystyle a nbsp 和b displaystyle b nbsp 组成的矩形的面积大 参考来源 编辑邢家省 Young不等式在Lp空间中的应用 聊城大学学报 自然科学版 2007年 第3期 第20卷 ISSN 1672 6634 2007 03 0019 04 请检查 issn 值 帮助 请检查 date 中的日期值 帮助 使用 accessdate 需要含有 url 帮助 张愿章 Young不等式的证明及应用 河南科学 2004年 第01期 第22卷 ISSN 1004 3918 2004 01 0023 07 请检查 issn 值 帮助 请检查 date 中的日期值 帮助 使用 accessdate 需要含有 url 帮助 取自 https zh wikipedia org w index php title 杨氏不等式 amp oldid 75780501, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,