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朗伯w函数, 英語, lambert, function, 又称为欧米加函数或乘积对数, 是f, wew的反函数, 其中ew是指数函数, w是任意复数, 对于任何复数z, 都有, 的图像, displaystyle, 由于函数f不是单射, 因此函数w是多值的, 除了0以外, 如果我们把x限制为实数, 并要求w是实数, 那么函数仅对于x, e有定义, 内是多值的, 如果加上w, 1的限制, 则定义了一个单值函数w0, 见图, 我们有w0, 而在, 内的w, 1分支, 则记为w, 从w, 1递减为w, 不能用初等函数来. 朗伯W函数 英語 Lambert W function 又称为欧米加函数或乘积对数 是f w wew的反函数 其中ew是指数函数 w是任意复数 对于任何复数z 都有 W0 x 的图像 1 e x 4 z W z e W z displaystyle z W z e W z 由于函数f不是单射 因此函数W是多值的 除了0以外 如果我们把x限制为实数 并要求w是实数 那么函数仅对于x 1 e有定义 在 1 e 0 内是多值的 如果加上w 1的限制 则定义了一个单值函数W0 x 见图 我们有W0 0 0 W0 1 e 1 而在 1 e 0 内的w 1分支 则记为W 1 x 从W 1 1 e 1递减为W 1 0 朗伯W函数不能用初等函数来表示 它在组合数学中有许多用途 例如树的计算 它可以用来解许多含有指数的方程 也出现在某些微分方程的解中 例如y t a y t 1 复平面上的朗伯W函数的函數圖形目录 1 微分和积分 2 性质 3 泰勒级数 4 加法定理 5 複數值 6 特殊值 7 应用 7 1 例子 8 一般化 9 图象 10 计算 11 参考来源 12 外部链接微分和积分 编辑朗伯 W displaystyle W 函数的积分形式为 W x x p 0 p 1 v cot v 2 v 2 x v csc v e v cot v d v arg x lt p displaystyle W x frac x pi int 0 pi frac left 1 v cot v right 2 v 2 x v csc v cdot e v cot v rm d v arg left x right lt pi W x 1 e 1 p ℑ d d x W x ln 1 z x d x displaystyle W x int infty frac 1 e frac 1 pi Im left frac rm d rm d x W x right ln left 1 frac z x right rm d x 若 x 1 e 0 k Z displaystyle x not in left frac 1 e 0 right k in mathbb Z 若 x 1 e 0 k 1 2 3 displaystyle x in left frac 1 e 0 right k 1 pm 2 pm 3 W k x 1 ln x 1 2 k p i e i 2 p 0 ln t ln t ln x 2 k 1 p i t ln t ln x 2 k 1 p i d t t 1 1 ln x 1 2 k p i e i 2 p 0 ln t ln t ln x 2 4 k 2 1 p 2 2 p t ln t ln x i t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 d t t 1 displaystyle W k x 1 left ln x 1 2k pi rm i right e frac rm i 2 pi int 0 infty ln frac t ln t ln x 2k 1 pi rm i t ln t ln x 2k 1 pi rm i cdot frac rm d t t 1 1 left ln x 1 2k pi rm i right e frac rm i 2 pi int 0 infty ln frac left t ln t ln x right 2 left 4k 2 1 right pi 2 2 pi left t ln t ln x right rm i left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 cdot frac rm d t t 1 把被积函数的实部和虚部分离出来 W k x 1 ln x 1 2 k p i e i 2 p 0 1 2 ln t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 i arctan 2 p t ln t ln x t ln t ln x 2 4 k 2 1 p 2 d t t 1 displaystyle W k x 1 left ln x 1 2k pi rm i right e frac rm i 2 pi int 0 infty left frac 1 2 ln frac left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 rm i arctan frac 2 pi left t ln t ln x right left t ln t ln x right 2 left 4k 2 1 right pi 2 right cdot frac rm d t t 1 W k x 1 ln x 1 cos 1 4 p 0 ln t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 d t t 1 2 k p sin 1 4 p 0 ln t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 d t t 1 i ln x 1 sin 1 4 p 0 ln t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 d t t 1 2 k p cos 1 4 p 0 ln t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 d t t 1 e 1 2 p 0 arctan 2 p t ln t ln x t ln t ln x 2 4 k 2 1 p 2 d t t 1 displaystyle W k x 1 frac left ln x 1 right cos frac 1 4 pi int 0 infty ln frac left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 cdot frac rm d t t 1 2k pi sin frac 1 4 pi int 0 infty ln frac left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 cdot frac rm d t t 1 rm i left left ln x 1 right sin frac 1 4 pi int 0 infty ln frac left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 cdot frac rm d t t 1 2k pi cos frac 1 4 pi int 0 infty ln frac left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 cdot frac rm d t t 1 right e frac 1 2 pi int 0 infty arctan frac 2 pi left t ln t ln x right left t ln t ln x right 2 left 4k 2 1 right pi 2 cdot frac rm d t t 1 设 W k x u v i x t s i displaystyle W k x u v rm i x t s rm i 则有 u v i e u v i t s i displaystyle left u v rm i right e u v rm i t s rm i 展开分离出实部和虚部 e u u cos v v sin v t e u u sin v v cos v s displaystyle e u left u cos v v sin v right t e u left u sin v v cos v right s 当s 0 displaystyle s 0 时 易知 u v cot v displaystyle u v cot v W k x 1 ln x sin 1 4 p 0 ln t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 d t t 1 2 k p cos 1 4 p 0 ln t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 d t t 1 e 1 2 p 0 arctan 2 p t ln t ln x t ln t ln x 2 4 k 2 1 p 2 d t t 1 cot ln x 1 sin 1 4 p 0 ln t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 d t t 1 2 k p cos 1 4 p 0 ln t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 d t t 1 e 1 2 p 0 arctan 2 p t ln t ln x t ln t ln x 2 4 k 2 1 p 2 d t t 1 ln x 1 sin 1 4 p 0 ln t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 d t t 1 2 k p cos 1 4 p 0 ln t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 t ln t ln x 2 2 k 1 2 p 2 d t t 1 e 1 2 p 0 arctan 2 p t ln t ln x t ln t ln x 2 4 k 2 1 p 2 d t t 1 i displaystyle W k x frac left 1 ln x right sin frac 1 4 pi int 0 infty ln frac left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 cdot frac rm d t t 1 2k pi cos frac 1 4 pi int 0 infty ln frac left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 cdot frac rm d t t 1 e frac 1 2 pi int 0 infty arctan frac 2 pi left t ln t ln x right left t ln t ln x right 2 left 4k 2 1 right pi 2 cdot frac rm d t t 1 cot frac left ln x 1 right sin frac 1 4 pi int 0 infty ln frac left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 cdot frac rm d t t 1 2k pi cos frac 1 4 pi int 0 infty ln frac left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 cdot frac rm d t t 1 e frac 1 2 pi int 0 infty arctan frac 2 pi left t ln t ln x right left t ln t ln x right 2 left 4k 2 1 right pi 2 cdot frac rm d t t 1 frac left ln x 1 right sin frac 1 4 pi int 0 infty ln frac left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 cdot frac rm d t t 1 2k pi cos frac 1 4 pi int 0 infty ln frac left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 left t ln t ln x right 2 left 2k 1 right 2 pi 2 cdot frac rm d t t 1 e frac 1 2 pi int 0 infty arctan frac 2 pi left t ln t ln x right left t ln t ln x right 2 left 4k 2 1 right pi 2 cdot frac rm d t t 1 rm i W 0 x 1 ln x 1 e 1 p 0 arg t ln t ln x p i d t t 1 x gt 0 displaystyle W 0 x 1 left ln x 1 right e frac 1 pi int 0 infty arg left t ln t ln x pi rm i right cdot frac rm d t t 1 x gt 0 若 x gt 1 e displaystyle x gt frac 1 e 上式还可化为W 0 x 1 ln x 1 e 1 p 0 arctan p t ln t ln x d t t 1 displaystyle W 0 x 1 left ln x 1 right e frac 1 pi int 0 infty arctan frac pi t ln t ln x cdot frac rm d t t 1 由隐函数的求导法则 朗伯W displaystyle W 函数满足以下的微分方程 z 1 W z d d z W z W z displaystyle z left 1 W z right frac rm d rm d z W z W z z 1 e displaystyle z neq frac 1 e 因此 d d z W z W z z 1 W z displaystyle frac rm d rm d z W z frac W z z left 1 W z right z 1 e displaystyle z neq frac 1 e 函数W x displaystyle W x 以及许多含有W x displaystyle W x 的表达式 都可以用w W x displaystyle w W x 的变量代换来积分 也就是说x w e w displaystyle x we w W x d x x W x 1 W x 1 C displaystyle int W x rm d x x left W x frac 1 W x 1 right C 0 1 W x d x W 1 W 2 0 330366 displaystyle int 0 1 W x rm d x Omega frac 1 Omega 2 approx 0 330366 其中W displaystyle Omega 為欧米加常数 性质 编辑1 displaystyle 1 z z z z z lim n z n W ln z ln z displaystyle z z z z z lim n to infty z upuparrows n frac W ln z ln z 其中 displaystyle upuparrows 是高德納箭號表示法 2 displaystyle 2 若z gt 0 displaystyle z gt 0 则ln W z ln z W z displaystyle ln W z ln z W z 泰勒级数 编辑W 0 displaystyle W 0 在x 0 displaystyle x 0 的泰勒级数如下 W 0 x n 1 n n 1 n x n x x 2 3 2 x 3 8 3 x 4 125 24 x 5 displaystyle W 0 x sum n 1 infty frac n n 1 n x n x x 2 frac 3 2 x 3 frac 8 3 x 4 frac 125 24 x 5 cdots 收敛半径为 1 e displaystyle frac 1 e 加法定理 编辑W x W y W x y W x x y W y displaystyle W x W y W left frac xy W x frac xy W y right x gt 0 y gt 0 displaystyle x gt 0 y gt 0 複數值 编辑實部 ℜ W x y i k 1 k k 1 k x 2 y 2 k cos k arctan x y displaystyle Re left W x y rm i right sum k 1 infty frac k k 1 k sqrt x 2 y 2 k cos left k arctan frac x y right x 2 y 2 lt 1 e 2 displaystyle x 2 y 2 lt frac 1 e 2 虛部 ℑ W x y i k 1 k k 1 k x 2 y 2 k sin k arctan x y displaystyle Im left W x y rm i right sum k 1 infty frac k k 1 k sqrt x 2 y 2 k sin left k arctan frac x y right x 2 y 2 lt 1 e 2 displaystyle x 2 y 2 lt frac 1 e 2 模長 W x y i W x y displaystyle W x y rm i W sqrt x y 模角 arg W x y i k 1 k k 1 k arctan cot k arctan x y displaystyle arg left W x y rm i right sum k 1 infty frac k k 1 k arctan left cot k arctan frac x y right x 2 y 2 lt 1 e 2 displaystyle x 2 y 2 lt frac 1 e 2 共軛值 W x y i k 1 k k 1 k x 2 y 2 k cos k arctan x y i sin k arctan x y displaystyle overline W x y rm i sum k 1 infty frac k k 1 k sqrt x 2 y 2 k left cos left k arctan frac x y right rm i sin left k arctan frac x y right right x 2 y 2 lt 1 e 2 displaystyle x 2 y 2 lt frac 1 e 2 特殊值 编辑W p 2 p 2 i displaystyle W left frac pi 2 right frac pi 2 i W ln 2 2 ln 2 displaystyle W left frac ln 2 2 right ln 2 W 1 e 1 displaystyle W left 1 over e right 1 W 1 W 1 d x e x x 2 p 2 1 0 56714329 displaystyle W left 1 right Omega frac 1 int infty infty frac rm d x e x x 2 pi 2 1 approx 0 56714329 dots 欧米加常数 W e 1 displaystyle W e 1 W e e 1 e displaystyle W e e 1 e W 1 e 1 1 e 1 e displaystyle W left frac 1 e 1 frac 1 e right frac 1 e W 1 e 1 displaystyle W frac 1 e 1 W p e p p displaystyle W pi e pi pi W k ln k ln k displaystyle W k ln k ln k k gt 0 displaystyle k gt 0 W i p i p displaystyle W rm i pi rm i pi W i p i p displaystyle W rm i pi rm i pi W i cos 1 sin 1 i displaystyle W rm i cos 1 sin 1 rm i W 3 2 p 3 2 p i displaystyle W frac 3 2 pi frac 3 2 pi rm i W 8 7 7 ln 2 32 7 ln 2 displaystyle W frac sqrt 7 8 7 ln 2 frac 32 7 ln 2 W 3 54 ln 3 9 2 ln 3 displaystyle W frac sqrt 3 54 ln 3 frac 9 2 ln 3 W ln 2 4 4 ln 2 displaystyle W frac ln 2 4 4 ln 2 W 1 e 1 2 p 0 1 t 1 arctan 2 p t ln t d t cos 1 4 p 0 1 t 1 ln t ln t 2 4 p 2 t ln t 2 d t p sin 1 4 p 0 1 t 1 ln t ln t 2 4 p 2 t ln t 2 d t i p cos 1 4 p 0 1 t 1 ln t ln t 2 4 p 2 t ln t 2 d t sin 1 4 p 0 1 t 1 ln t ln t 2 4 p 2 t ln t 2 d t e 1 2 p 0 1 t 1 arctan 2 p t ln t d t 0 31813 1 33723 i displaystyle W left 1 right frac e frac 1 2 pi int 0 infty 1 over t 1 arctan 2 pi over t ln t rm d t cos left frac 1 4 pi int 0 infty 1 over t 1 ln left t ln t right 2 over 4 pi 2 left t ln t right 2 rm d t right pi sin left frac 1 4 pi int 0 infty 1 over t 1 ln left t ln t right 2 over 4 pi 2 left t ln t right 2 rm d t right rm i left pi cos left frac 1 4 pi int 0 infty 1 over t 1 ln left t ln t right 2 over 4 pi 2 left t ln t right 2 rm d t right sin left frac 1 4 pi int 0 infty 1 over t 1 ln left t ln t right 2 over 4 pi 2 left t ln t right 2 rm d t right right e frac 1 2 pi int 0 infty 1 over t 1 arctan 2 pi over t ln t rm d t approx 0 31813 1 33723 rm i W ln k k ln k displaystyle W frac ln k k ln k W ln x 1 x x 1 1 x x 1 x ln x 1 gt 1 lt x lt 0 displaystyle W left frac ln x 1 x x 1 frac 1 x right frac x 1 x ln x 1 gt 1 lt x lt 0 应用 编辑许多含有指数的方程都可以用W displaystyle W 函数来解出 一般的方法是把未知数都移到方程的一侧 并设法化为Y X e X displaystyle Y Xe X 的形式 例子 编辑 例子12 t 5 t displaystyle 2 t 5t 1 5 t 2 t displaystyle Rightarrow 1 frac 5t 2 t 1 5 t e t ln 2 displaystyle Rightarrow 1 5t e t ln 2 1 5 t e t ln 2 displaystyle Rightarrow frac 1 5 t e t ln 2 ln 2 5 t ln 2 e t ln 2 displaystyle Rightarrow frac ln 2 5 t ln 2 e t ln 2 t ln 2 W k ln 2 5 displaystyle Rightarrow t ln 2 W k left frac ln 2 5 right t W k ln 2 5 ln 2 displaystyle Rightarrow t frac W k left frac ln 2 5 right ln 2 更一般地 以下的方程 Q a x b c x d displaystyle Q ax b cx d 其中 Q gt 0 Q 1 c 0 displaystyle Q gt 0 land Q neq 1 land c neq 0 两边同乘 a c displaystyle frac a c 得到 a c Q a x b a x a d c displaystyle frac a c Q ax b ax frac ad c 同除以 Q a x displaystyle Q ax 得到 a c Q b a x a d c Q a x displaystyle frac a c Q b left ax frac ad c right Q ax 同除 Q a d c displaystyle Q frac ad c a c Q b a d c a x a d c Q a x a d c displaystyle frac a c Q b frac ad c left ax frac ad c right Q left ax frac ad c right 可以用变量代换令t a x a d c displaystyle t ax frac ad c 化为 t Q t a c Q b a d c displaystyle tQ t frac a c Q b frac ad c 即 t e ln Q t a c Q b a d c displaystyle t left e ln Q right t frac a c Q b frac ad c 同乘 ln Q displaystyle ln Q 得出 t ln Q e t ln Q ln Q a c Q b a d c displaystyle t ln Q cdot e t ln Q ln Q cdot frac a c Q b frac ad c 故t ln Q W k a ln Q c Q b a d c displaystyle t ln Q W k left frac a ln Q c Q b frac ad c right 带入t a x a d c displaystyle t ax frac ad c 为 a x a d c ln Q W k a ln Q c Q b a d c displaystyle left ax frac ad c right ln Q W k left frac a ln Q c Q b frac ad c right 因此最终的解为 x W k a ln Q c Q b a d c a ln Q d c displaystyle x frac W k left frac a ln Q c Q b frac ad c right a ln Q frac d c 若辅助方程 x e x a ln Q c Q b a d c displaystyle xe x frac a ln Q c Q b frac ad c 中 a ln Q c Q b a d c 1 e displaystyle frac a ln Q c Q b frac ad c in left infty frac 1 e right 辅助方程无实数解 原方程亦无实解 若 a ln Q c Q b a d c 1 e 0 displaystyle frac a ln Q c Q b frac ad c in left frac 1 e right cup mathbf 0 infty 辅助方程有一实数解 原方程有一实解 x W k a ln Q c Q b a d c a ln Q d c displaystyle x frac W k left frac a ln Q c Q b frac ad c right a ln Q frac d c 若 a ln Q c Q b a d c 1 e 0 displaystyle frac a ln Q c Q b frac ad c in left frac 1 e 0 right 辅助方程有二实解 设为W a ln Q c Q b a d c displaystyle W left frac a ln Q c Q b frac ad c right W 1 a ln Q c Q b a d c displaystyle rm W 1 left frac a ln Q c Q b frac ad c right 为x 1 W a ln Q c Q b a d c a ln Q d c displaystyle x 1 frac W left frac a ln Q c Q b frac ad c right a ln Q frac d c x 2 W 1 a ln Q c Q b a d c a ln Q d c displaystyle x 2 frac rm W 1 left frac a ln Q c Q b frac ad c right a ln Q frac d c 例子2用类似的方法 可知以下方程的解 x x t displaystyle x x mathrm t 为 x ln t W ln t displaystyle x frac ln rm t W ln rm t 或 x exp W k ln t displaystyle x exp left W k left ln rm t right right 例子3以下方程的解 x log b x a displaystyle x log b x a 具有形式 x a ln b W k a ln b displaystyle x frac a ln b W k left a ln b right 例子4 x a b x 0 displaystyle x a b x 0 a gt 0 displaystyle a gt 0 b gt 0 displaystyle b gt 0 x gt 0 displaystyle x gt 0 取对数 a ln x x ln b displaystyle a ln x x ln b ln x x ln b a displaystyle frac ln x x frac ln b a e ln x x e ln b a displaystyle e frac ln x x e frac ln b a x 1 x b 1 a displaystyle x frac 1 x b frac 1 a 取倒数 1 x 1 x b 1 a displaystyle left frac 1 x right frac 1 x b frac 1 a 1 x ln b a W 1 a ln b displaystyle frac 1 x frac ln b aW left frac 1 a ln b right 最终解为 x a ln b W k ln b a displaystyle x frac a ln b W k left frac ln b a right 例子5 a x b n u c x d displaystyle ax b n u cx d 两边开n displaystyle n 次方并除以a displaystyle a 得x b a u c n x d n a cos 2 k p n i sin 2 k p n displaystyle x frac b a frac u frac c n x frac d n a left cos frac 2k pi n rm i sin frac 2k pi n right 令u e ln u displaystyle u e ln u 化为x b a e c ln u n x d ln u n a cos 2 k p n i sin 2 k p n displaystyle x frac b a frac e frac c ln u n x frac d ln u n a left cos frac 2k pi n rm i sin frac 2k pi n right 两边同乘 c ln u n u c n x c b n a displaystyle frac c ln u n u frac c n x frac cb na c ln u n x c b ln u n a e c ln u n x c b ln u n a c ln u n a u d n c b n a cos 2 k p n i sin 2 k p n displaystyle left frac c ln u n x frac cb ln u na right e frac c ln u n x frac cb ln u na frac c ln u na u frac d n frac cb na left cos frac 2k pi n rm i sin frac 2k pi n right 最终得x k n c ln u W k c ln u n a u d n c b n a cos 2 k p n i sin 2 k p n b a displaystyle x k frac n c ln u W k left frac c ln u na u frac d n frac cb na left cos frac 2k pi n rm i sin frac 2k pi n right right frac b a k Z displaystyle k in mathbb Z 一般化 编辑標準的 Lambert W 函數可用來表示以下超越代數方程式的解 e c x a o x r 1 displaystyle e cx a o x r quad qquad qquad qquad qquad 1 其中 a0 c 與 r 為實常數 其解為x r W c e c r a o c textstyle x r tfrac W left frac ce cr a o right c Lambert W 函數之一般化 1 2 3 包括 一項在低維空間內廣義相對論與量子力學的應用 量子引力 實際上一種以前未知的 連結 於此二區域中 如 Journal of Classical and Quantum Gravity 4 所示其 1 的右邊式現為二維多項式 x e c x a o x r 1 x r 2 2 displaystyle e cx a o x r 1 x r 2 qquad qquad 2 其中 r1 和 r2 是不同實常數 為二維多項式的根 於此函數解有單一引數 x 但 ri 和 ao 為函數的參數 如此一來 此一般式類似於 hypergeometric 超几何分布 函數與 Meijer G 但屬於不同類函數 當 r1 r2 2 的兩方可分解為 1 因此其解簡化為標準 W 函數 2 式代表著 dilaton 軸子 場的方程 可據此推導線性 雙體重力問題 1 1 維 一空間維與一時間維 當兩不等 靜止 質量 以及 量子力學的特徵能Delta位勢阱給不等電位於一維空間 量子力學的一特例特徵能的分析解三體問題 亦即 三維 氢分子離子 5 於此 1 或 2 的右手邊現為無限級數多項式之比於 x e c x a o i 1 x r i i 1 x s i 3 displaystyle e cx a o frac prod i 1 infty x r i prod i 1 infty x s i qquad qquad qquad 3 其中 ri 與 si 是相異實常數而 x 是特徵能和內核距離R之函數 式 3 與其特例表示於 1 和 2 是與一更大類型延遲微分方程 由于哈代的 虚假导数 概念 多根的特殊情况得以解决 6 Lambert W 函數於基礎物理問題之應用並未完全即使標準情況如 1 最近在原子 分子 與光學物理領域可見 7 图象 编辑朗伯W函数在复平面上的图像 z Re W0 x i y z Im W0 x i y 计算 编辑W函数可以用以下的递推关系算出 w j 1 w j w j e w j z e w j w j 1 w j 2 w j e w j z 2 w j 2 displaystyle w j 1 w j frac w j e w j z e w j w j 1 frac w j 2 w j e w j z 2w j 2 参考来源 编辑 T C Scott and R B Mann General Relativity and Quantum Mechanics Towards a Generalization of the Lambert W Function AAECC Applicable Algebra in Engineering Communication and Computing vol 17 no 1 April 2006 pp 41 47 1 Arxiv 2 页面存档备份 存于互联网档案馆 T C Scott G Fee and J Grotendorst Asymptotic series of Generalized Lambert W Function 页面存档备份 存于互联网档案馆 SIGSAM vol 47 no 3 September 2013 pp 75 83 T C Scott G Fee J Grotendorst and W Z Zhang Numerics of the Generalized Lambert W 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