有限體積法

有限体积法（ 英文：finite volume method ）是一种以数值方法解偏微分方程的計算方式^[1]。 在有限體積法中，將要描述的物理實體切分為網格單元來描述，並使用发散定理，將所有包含发散项的偏微分方程中的體積積分轉換為表面积分。然后將每個網格的项加總，便成為每個有限體積表面的通量。因为進入给定體積的通量与离开相鄰體積的通量相同，所以这些方法是守恆的。该方法用於许多计算流体动力学軟體。

有限体积法常被拿來與有限元素分析做比較，后者使用節點值来近似導數，或者使用有限元方法来使用局部數值来逼近解的局部近似值，并通過將它們加總在一起来形成全域近似值。另一方面，有限體積法會計算某个體積中的網格解之平均，然后使用此平均值来決定單元内解的近似值^[2][3]。

舉例

一维平流問題：

${\displaystyle \quad (1)\qquad \qquad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}=0,\quad t\geq 0.}$ 

${\displaystyle \rho =\rho \left(x,t\right)\ }$ 在這裡代表狀態變量， ${\displaystyle f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)\ }$ 代表的通量或流量${\displaystyle \rho \ }$  。習慣上，${\displaystyle f\ }$ 正值代表向右流動，而${\displaystyle f\ }$ 負值代表向左流動。如果假設式（1）表示恆定面積的流動介質，則可以空间域 ${\displaystyle x\ }$  ，细分為數個網格單元，以每個網格單元所佔的有限體積以${\displaystyle i\ }$ 作為標記 。對於特定的單元${\displaystyle i\ }$  ，我们可以定義該體積某物理量（ 壓力、溫度等 ）之通量或流量平均值${\displaystyle {\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)\ }$ 在時間${\displaystyle {t=t_{1}}\ }$ 和${\displaystyle {x\in \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}\ }$  ，如式（2）

${\displaystyle \quad (2)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{1}\right)\,dx,}$ 

而在時間${\displaystyle {t=t_{2}}\ }$ 時式（2）可寫為：

${\displaystyle \quad (3)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{2}\right)\,dx,}$ 

此處${\displaystyle x_{i-{\frac {1}{2}}}\ }$ 和${\displaystyle x_{i+{\frac {1}{2}}}\ }$ 分别代表上游和下游面或網格單元的交界面位置${\displaystyle i^{th}\ }$ 。

將式（1）積分，可得：

${\displaystyle \quad (4)\qquad \qquad \rho \left(x,t_{2}\right)=\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)\,dt,}$ 

當${\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$  。

為了得到在時間${\displaystyle t=t_{2}\ }$  的有限體積平均值${\displaystyle \rho \left(x,t\right)}$ ，在此積分位於整個有限體積的所有網格的流量${\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)}$ ，並${\displaystyle \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}$ 並將計算结果除以${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}$  ，即可得：

${\displaystyle \quad (5)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{\Delta x_{i}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\left\{\rho \left(x,t_{1}\right)-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(x,t\right)dt\right\}dx.}$ 

我們可以逆向積分的順序。同样，请记住，流量垂直於單元的表面。現在，因为一维${\displaystyle f_{x}\triangleq \nabla \cdot f}$  ，我们可以應用散度定理，即${\displaystyle \oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS}$  ，并用的值代替散度的体积积分${\displaystyle f(x)\ }$ 在網格單元表面計算（某單元與其他單元之前後交界面${\displaystyle x_{i-{\frac {1}{2}}}\ }$ 和${\displaystyle x_{i+{\frac {1}{2}}}\ }$  ）的有限體積如下：

${\displaystyle \quad (6)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left(\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+{\frac {1}{2}}}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-{\frac {1}{2}}}dt\right).}$ 

當${\displaystyle f_{i\pm {\frac {1}{2}}}=f\left(x_{i\pm {\frac {1}{2}}},t\right)}$  。

因此，對于上述問題，我们可以得出一个半離散的數值格式，其單元中心的索引為${\displaystyle i\ }$  ，且單元交界面通量的索引為${\displaystyle i\pm {\frac {1}{2}}}$  ，通過對時間對式（6）進行微分，可得：

${\displaystyle \quad (7)\qquad \qquad {\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[f_{i+{\frac {1}{2}}}-f_{i-{\frac {1}{2}}}\right]=0,}$ 

通過某單元交界面通量的值${\displaystyle f_{i\pm {\frac {1}{2}}}}$ 可以通过對單元平均值进行内插或外推来獲得。式（7）對於該有限體積的平均值是精确的，因為在推導過程中未進行任何近似。

該方法也可以應用於2D形況，只要同時考慮單元四周交界面，北面、南面、东面和西面即可。

一般守恆法則

我們還可以考慮以下PDE代表的一般守恒定律問題，

${\displaystyle \quad (8)\qquad \qquad {{\partial {\mathbf {u} }} \over {\partial t}}+\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)={\mathbf {0} }.}$ 

此處 ${\displaystyle {\mathbf {u} }\ }$ 代表狀態向量${\displaystyle \mathbf {f} \ }$ 代表相应的通量張量。同样，我們可以將空間域细分為有限體積的網格單元。對於特定的網格單元${\displaystyle i\ }$  ，將體積積分乘以單元的總體積 ${\displaystyle v_{i}\ }$  ， 如式（9）。

${\displaystyle \quad (9)\qquad \qquad \int _{v_{i}}{{\partial {\mathbf {u} }} \over {\partial t}}\,dv+\int _{v_{i}}\nabla \cdot {\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\,dv={\mathbf {0} }.}$ 

將第一項積分可得体积平均值，然后将散度定理應用於第二項，可得：

${\displaystyle \quad (10)\qquad \qquad v_{i}{{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} },}$ 

此處${\displaystyle S_{i}\ }$ 代表單元的總表面積， ${\displaystyle {\mathbf {n} }}$ 是垂直於表面並指向外的單位向量。最后，可得一般结果如式（11）。

${\displaystyle \quad (11)\qquad \qquad {{d{\mathbf {\bar {u}} }_{i}} \over {dt}}+{{1} \over {v_{i}}}\oint _{S_{i}}{\mathbf {f} }\left({\mathbf {u} }\right)\cdot {\mathbf {n} }\ dS={\mathbf {0} }.}$ 

同樣的，可以通過對單元平均值进行内插或外推来重建交界面通量的值。實際的數值將取决於問題的幾何形狀和軮格結構。

有限体积方案是守恆的，因為單元平均会通过交界面通量而變化。換句話說，某個單元所損失的物理量，必定會通過交界面而被另一單元所獲得！

相關文獻

• Eymard, R. Gallouët, T. R., Herbin, R.（英语：Raphaèle Herbin） (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
• Hirsch, C. (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, Wiley.
• Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press.
• LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws, ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
• LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
• Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere.
• Tannehill, John C., et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer, 2nd Ed., Taylor and Francis.
• Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.
• Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

参考資料

1. LeVeque, Randall. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. 2002 [2020-12-23]. ISBN 9780511791253. （原始内容于2020-10-23）. 
2. Fallah, N. A.; Bailey, C.; Cross, M.; Taylor, G. A. Comparison of finite element and finite volume methods application in geometrically nonlinear stress analysis. Applied Mathematical Modelling. 2000-06-01, 24 (7): 439–455. ISSN 0307-904X. doi:10.1016/S0307-904X(99)00047-5 （英语）. 
3. Ranganayakulu, C. (Chennu). Chapter 3, Section 3.1. Compact heat exchangers : analysis, design and optimization using FEM and CFD approach. Seetharamu, K. N. Hoboken, NJ. ISBN 978-1-119-42435-2. OCLC 1006524487. 

外部連結

• Finite volume methods （页面存档备份，存于互联网档案馆） by R. Eymard, T Gallouët and R. Herbin（英语：Raphaèle Herbin）, update of the article published in Handbook of Numerical Analysis, 2000
• Rübenkönig, Oliver. . （原始内容存档于2009-10-02）. , available under the GFDL.
• FiPy: A Finite Volume PDE Solver Using Python （页面存档备份，存于互联网档案馆） from NIST.
• CLAWPACK （页面存档备份，存于互联网档案馆）: a software package designed to compute numerical solutions to hyperbolic partial differential equations using a wave propagation approach