^Ortega, J R; Rheinboldt, WC. Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. London: Academic Press. 1970.
^ 袁亞湘. 非線性優化計算方法. 北京: 科學出版社. 2008年2月: 17. ISBN 978-7-03-020883-5(中文(简体)).使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)
十二月 30, 2022
收斂速度, 此條目需要补充更多来源, 2017年9月6日, 请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的内容可能會因為异议提出而移除, 致使用者, 请搜索一下条目的标题, 来源搜索, 网页, 新闻, 书籍, 学术, 图像, 以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源, 判定指引, 在數值分析中, 一個收斂序列向其極限逼近的速度稱為, 該概念多用於最優化算法中, 其被定義為一個疊代序列向其局部最優值逼近, 假設計算過程收斂, 並能逹到最優值, 的速度, 是評價一個疊代法於該問題中發揮的性能的一個重要指標, 目录. 此條目需要补充更多来源 2017年9月6日 请协助補充多方面可靠来源以改善这篇条目 无法查证的内容可能會因為异议提出而移除 致使用者 请搜索一下条目的标题 来源搜索 收斂速度 网页 新闻 书籍 学术 图像 以检查网络上是否存在该主题的更多可靠来源 判定指引 在數值分析中 一個收斂序列向其極限逼近的速度稱為收斂速度 該概念多用於最優化算法中 其被定義為一個疊代序列向其局部最優值逼近 假設計算過程收斂 並能逹到最優值 的速度 是評價一個疊代法於該問題中發揮的性能的一個重要指標 目录 1 定義 1 1 商收斂因子及商收斂階 1 2 根收斂因子及根收斂階 1 3 兩種收斂階的聯繫 2 實例 2 1 數列 2 2 向量列 2 3 優化算法的疊代點列 2 3 1 牛頓法 3 參考文獻定義 编辑收斂速度以收斂階衡量 亦可以收斂因子描述 依計算方法的不同 有下述兩種收斂階及收斂因子 1 商收斂因子及商收斂階 编辑 商收斂因子Q p displaystyle Q p 的定義式如下 Q p lim sup k x k 1 x 2 x k x 2 p p 1 displaystyle Q p limsup k rightarrow infty frac x k 1 x 2 x k x 2 p p in 1 infty dd 商收斂因子也稱Q 因子 商收斂階也稱Q 收斂階 利用商收斂因子 對收斂速度進行描述的方式如下 如果Q 1 0 displaystyle Q 1 0 則稱 x k displaystyle x k 是Q 超線性收斂於x displaystyle x 如果0 lt Q 1 lt 1 displaystyle 0 lt Q 1 lt 1 則稱 x k displaystyle x k 是Q 線性收斂於x displaystyle x 如果Q 1 1 displaystyle Q 1 geq 1 則稱 x k displaystyle x k 是Q 次線性收斂於x displaystyle x 如果Q 2 0 displaystyle Q 2 0 則稱 x k displaystyle x k 是Q 超平方收斂於x displaystyle x 如果0 lt Q 2 lt displaystyle 0 lt Q 2 lt infty 則稱 x k displaystyle x k 是Q 平方收斂於x displaystyle x 如果Q 2 displaystyle Q 2 infty 則稱 x k displaystyle x k 是Q 次平方收斂於x displaystyle x 注意 Q 線性收斂與Q 平方收斂 以及Q 次線性收斂與Q 次平方收斂的評判標準有些微差別 Q 平方收斂 也稱為 Q 二次收斂 依照Q 平方收斂 不是Q 線性收斂 的定義 可以定義Q 立方收斂 將Q 2 displaystyle Q 2 改為Q 3 displaystyle Q 3 Q 四次方收斂等更高Q 收斂階 商收斂階O Q displaystyle O Q 的定義式如下 O Q inf p p 1 且 Q p displaystyle O Q inf p p in 1 infty text 且 Q p infty dd 對比商收斂因子的描述 商收斂階是指求出一個數n 1 displaystyle n geq 1 不一定是整數 使得對於 t 1 n displaystyle forall t 1 geq n 點列 x k displaystyle x k 都是Q 次t 1 displaystyle t 1 次方收於 且對於t 2 lt n displaystyle t 2 lt n x k displaystyle x k 都是Q t 2 displaystyle t 2 次方收斂 而這個數n displaystyle n 就是點列的商收斂階 根收斂因子及根收斂階 编辑 根收斂因子R p displaystyle R p 的定義式如下 R p lim sup k x k x 2 1 k when p 1 lim sup k x k x 2 1 p k when p gt 1 displaystyle R p left begin aligned limsup k rightarrow infty x k x 2 1 k amp mbox when p 1 limsup k rightarrow infty x k x 2 1 p k amp mbox when p gt 1 end aligned right dd 根收斂因子也稱R 因子 根收斂階也稱R 收斂階 利用根收斂因子 對收斂速度進行描述的方式如下 如果R 1 0 displaystyle R 1 0 則稱 x k displaystyle x k 是R 超線性收斂於x displaystyle x 如果0 lt R 1 lt 1 displaystyle 0 lt R 1 lt 1 則稱 x k displaystyle x k 是R 線性收斂於x displaystyle x 如果R 1 1 displaystyle R 1 1 則稱 x k displaystyle x k 是R 次線性收斂於x displaystyle x 如果R 2 0 displaystyle R 2 0 則稱 x k displaystyle x k 是R 超平方收斂於x displaystyle x 如果0 lt R 2 lt 1 displaystyle 0 lt R 2 lt 1 則稱 x k displaystyle x k 是R 平方收斂於x displaystyle x 如果R 2 displaystyle R 2 geq infty 則稱 x k displaystyle x k 是R 次平方收斂於x displaystyle x 注意 R 次線性收斂與R 次平方收斂的評判標準有些微差別 R 平方收斂 也稱為 R 二次收斂 依照R 平方收斂 不是R 線性收斂 的定義 可以定義R 立方收斂 將R 2 displaystyle R 2 改為R 3 displaystyle R 3 R 四次方收斂等更高R 收斂階 根收斂階O R displaystyle O R 的定義式如下 O R inf p p 1 且 R p 1 displaystyle O R inf p p in 1 infty text 且 R p 1 dd 對比根收斂因子的描述 根收斂階是指求出一個數n 1 displaystyle n geq 1 不一定是整數 使得對於 t 1 n displaystyle forall t 1 geq n 點列 x k displaystyle x k 都是R 次t 1 displaystyle t 1 次方收於 且對於t 2 lt n displaystyle t 2 lt n x k displaystyle x k 都是R t 2 displaystyle t 2 次方收斂 而這個數n displaystyle n 就是點列的根收斂階 兩種收斂階的聯繫 编辑 對於一個收斂點列而言 其Q 收斂階不大於其R 收斂階 即 O Q O R displaystyle O Q leq O R 有時 一個數列的R 收斂階可能很高 但其Q 收斂階可能很低 當然可以證明 一個R 收斂階高的點列至少比某些Q 收斂低的點列收斂得更快 實例 编辑數列 编辑 有如下數列 a 1 1 a 2 1 2 a 3 1 4 a 4 1 8 a k 1 2 k 1 a 0 displaystyle a 1 1 a 2 frac 1 2 a 3 frac 1 4 a 4 frac 1 8 cdots a k frac 1 2 k 1 cdots a infty 0 容易計算 Q 1 1 2 displaystyle Q 1 frac 1 2 故該數列是Q線性收斂的 滿足Q p displaystyle Q p infty 的p displaystyle p 的集合為 x x gt 1 displaystyle x x gt 1 此集合的下確界為1 displaystyle 1 故該數列的收斂階為1 displaystyle 1 而同理 可計算得該數列是R線性收性 R收斂階為1 displaystyle 1 向量列 编辑 有如下向量列 v 1 a b T v 2 a 2 b 2 T v k a k b k T v 0 0 T 0 lt a 2 b 2 lt 1 displaystyle v 1 a b mathbf T v 2 a 2 b 2 mathbf T cdots v k a k b k mathbf T cdots v infty 0 0 mathbf T 0 lt a 2 b 2 lt 1 據上作出計算如下 Q 1 lim sup k a k 1 b k 1 T 2 a k b k T 2 lim sup k a k 1 2 b k 1 2 a k 2 b k 2 lt lim sup k a 2 k b 2 k a 2 b 2 a 2 k b 2 k a 2 b 2 lt 1 displaystyle Q 1 limsup k rightarrow infty frac a k 1 b k 1 mathbf T 2 a k b k mathbf T 2 limsup k rightarrow infty frac sqrt a k 1 2 b k 1 2 sqrt a k 2 b k 2 lt limsup k rightarrow infty frac sqrt a 2k b 2k a 2 b 2 sqrt a 2k b 2k sqrt a 2 b 2 lt 1 dd 故數列為Q線性收斂 Q收斂階為1 displaystyle 1 R 1 lim sup k a 2 k b 2 k 1 2 k max a b lt 1 displaystyle R 1 limsup k rightarrow infty a 2k b 2k 1 2k max a b lt 1 dd 故數列為R線性收斂 R收斂階為1 displaystyle 1 優化算法的疊代點列 编辑 牛頓法 编辑 注 此处的牛頓法指應用於最優化的牛頓法 可以證明 如果牛頓法的目標函數f x displaystyle f x 的二階導數f x displaystyle f prime prime x 在其收斂點x displaystyle x infty 處Lipschitz連續 則滿足不等式 0 lt x k 1 x x k x lt displaystyle 0 lt frac x k 1 x infty x k x infty lt infty 此說明牛頓法的疊代點列是Q平方收斂 另言之 牛頓法的收斂速度是二次的 2 參考文獻 编辑 Ortega J R Rheinboldt WC Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables London Academic Press 1970 袁亞湘 非線性優化計算方法 北京 科學出版社 2008年2月 17 ISBN 978 7 03 020883 5 中文 简体 使用 accessdate 需要含有 url 帮助 取自 https zh wikipedia org w index php title 收斂速度 amp oldid 73066696, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,