指示函数

在集合論中，指示函数是定义在某集合X上的函数，表示其中有哪些元素属于某一子集A。

现在已经少用这一称呼。概率论有另一意思迥异的特征函数。

集X的子集A的指示函数是函数${\displaystyle 1_{A}:X\to \lbrace 0,1\rbrace }$，定义为

${\displaystyle 1_{A}(x)={\begin{cases}1\\0\end{cases}}\quad }$	若 ${\displaystyle x\in A}$
	若 ${\displaystyle x\notin A}$

A的指示函数也记作${\displaystyle \chi _{A}(x)\,}$或${\displaystyle I_{A}(x)\,}$。

简单性质

把X的子集A对应到它的指示函数的映射是雙射，值域是所有函数${\displaystyle f:X\to \{0,1\}}$ 的集合。

如果A和B是X的两个子集，那么

${\displaystyle 1_{A\cap B}=\min\{1_{A},1_{B}\}=1_{A}1_{B}\,}$ ，

以及

${\displaystyle 1_{A\cup B}=\max\{{1_{A},1_{B}}\}=1_{A}+1_{B}-1_{A}1_{B}\,}$ 。

更一般地，设A₁, ..., A_n是X的子集。对任意${\displaystyle x\in X}$ ，可知

${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-1_{A_{k}}(x))=1}$ 当且仅当x不属于任何A_k。

故有

${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-1_{A_{k}})=1_{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-1_{\bigcup _{k}A_{k}}}$ 。

展开左式

${\displaystyle 1_{\bigcup _{k}A_{k}}}$	${\displaystyle =1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\;1_{\bigcap _{F}A_{k}}}$
	${\displaystyle =\sum _{\varnothing \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\;1_{\bigcap _{F}A_{k}}}$ ，

其中|F|是F的势。这是容斥原理的一个形式。

如上一例子所示，指示函数是组合数学一个有用记法。这记法也用在其他地方，例如在概率论：若X是概率空间，有概率测度P，A是可测集，那么1_A就是随机变量，其期望值等于A的概率。

${\displaystyle E(1_{A})=\int _{X}1_{A}(x)\,dP=\int _{A}dP=P(A)}$ 。

这等式用于马尔可夫不等式的一个简单证明裡。