抽样分布

在统计学中，抽样分布是由随机抽样的样本统计量所形成的概率分布^[1]。总体的数值特征被称为母數，例如总体均值 ${\displaystyle \mu }$、总体标准差 ${\displaystyle \sigma }$ 和总体比例 ${\displaystyle p}$ 等。而对于样本而言，样本统计量可以看做是样本的函数，是一个随机变量。每一次抽样都会得到一个对应的样本均值 ${\displaystyle {\bar {x}}}$、样本误差 ${\displaystyle s}$ 和样本比例 ${\displaystyle {\bar {p}}}$ 等，作为对总体参数的估计值。而这些统计量所形成的概率分布即抽样分布。

样本均值

对于样本均值而言，其抽样分布具有如下性质：

${\displaystyle {\bar {x}}}$  的期望等于该样本选取自的总体均值。

$${\displaystyle E({\bar {x}})=\mu }$$

 

将样本均值 ${\displaystyle {\bar {x}}}$  的标准差记为 ${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}$ ，样本容量记为 ${\displaystyle n}$ ，总体容量记为 ${\displaystyle N}$ 。

对于无限总体：

$${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$$

 

对于有限总体：

$${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}({\frac {\sigma }{\sqrt {n}}})}$$

 

这里 ${\displaystyle {\sqrt {(N-n)/(N-1)}}}$  通常被称为有限总体修正系数。一般认为当样本容量小于总体容量的5%，即 ${\displaystyle n/N\leq 0.05}$  时，该系数可以忽略不计。

样本比例

对于样本比例而言，其抽样分布具有如下性质：

${\displaystyle {\bar {p}}}$  的期望等于该样本选取自的总体比例。

$${\displaystyle E({\bar {p}})=p}$$

 

将样本比例 ${\displaystyle {\bar {p}}}$  的标准差记为 ${\displaystyle \sigma _{\bar {p}}}$ ，样本容量记为 ${\displaystyle n}$ ，总体容量记为 ${\displaystyle N}$ 。

对于无限总体：

$${\displaystyle \sigma _{\bar {p}}={\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$$

 

对于有限总体：

$${\displaystyle \sigma _{\bar {p}}={\sqrt {\frac {N-n}{N-1}}}{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$$

 

同样，当 ${\displaystyle n/N\leq 0.05}$  时，该系数可以忽略不计。

参考文献

1. 统计量的抽样分布. 国家统计局. [2023-06-23]. （原始内容于2023-06-23）. 

参考书籍

• Modern Business Statistics with Microsoft Excel, United States: Cengage Learning, ISBN 9780357708620