恒等定理

恒等定理（英語：identity theorem，或译作惟一性定理）可以看成是柯西积分公式的补充定理，它们都反映解析函数的特性，同是解析函数论中最基本的定理。惟一性定理揭示了解析函数一个非常深刻的性质，函数在区域${\displaystyle D}$内的局部值确定了函数在区域${\displaystyle D}$内整体的值，即局部与整体之间有着十分紧密的内存联系。

定理陈述

设函数${\displaystyle f_{1}(z)}$ 和${\displaystyle f_{2}(z)}$ 在区域${\displaystyle D}$ 内解析，若${\displaystyle \{z_{n}\}\subset D}$ 收敛于${\displaystyle a\in D,(z_{n}\neq a)}$ ，且${\displaystyle f_{1}(z_{n})=f_{2}(z_{n})}$ ，则${\displaystyle f_{1}(z)=f_{2}(z),\forall z\in D}$ ^[1] 。

推论

设在区域${\displaystyle D}$ 内解析的函数${\displaystyle f_{1}(z)}$ 和${\displaystyle f_{2}(z)}$ 在${\displaystyle D}$ 内的某一子区域(或一小段弧)上相等，则它们必在区域${\displaystyle D}$ 内恒等。

参考来源

1. 钟玉泉, 复变函数论, 第三版, 高等教育出版社, 2004.