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德拜模型

热力学固体物理学中,德拜模型(英語:Debye model)是由彼得·德拜在1912年提出的方法[1],用于估算声子对固体的比热(热容)的贡献。德拜模型把原子晶格振动(熱)当作盒中的聲子处理,而与此不同的爱因斯坦模型则将固体作为许多单独的、不相互作用的量子谐振子处理。德拜模型正确地预言了低温时固体的热容:与成正比(德拜定律)。与爱因斯坦模型一样,它在高温时也与杜隆-珀蒂定律相符合。但由于模型的简单假设,它在中间的温度不太准确。

彼得·德拜

推导 编辑

德拜模型是普朗克黑体辐射定律的固体版本,后者把电磁辐射视为盒中的光子气体,而德拜模型把原子的振动视为盒中的声子(盒子就是这块固体)。它们大部分的计算步骤都是相同的,因为声子气和光子气都是有线性色散关系的玻色气体

考虑一个边长为 的立方体。从盒中粒子一文可知,盒中的(沿某一边长方向传播的)声波由于共振效应,其波长只能为:

 

其中 是整数。一个声子的能量是:

 

其中 普朗克常数 是声子的频率。近似认为频率与波长成反比,则有:

 

其中 是固体中的声速。推广到三维的情况(沿任意方向传播的声子):

 

其中 为声子的动量。频率与波长成反比的近似(即声速恒定)对于低能量声子是准确的,但对于高能量声子则不然(参见声子)。这是德拜模型的局限之一,导致其对中间温度的预言不正确,而对低温和高温都很精确。

下面来计算盒中的总能量:

 

其中 是盒中能量为 的声子的数目。换句话说,总能量等于某能量的声子数目乘以其能量再对各能量求和。在三维空间中,我们有:

 

这是德拜模型和普朗克黑体辐射定律的不同之处。与盒中的电磁辐射不一样,由于声子不能有无限大的频率,所以盒中声子只有有限个能量状态。它的频率由它的传播介质——固体的原子晶格所约束。考虑以下的横向声子的插图:

 

可以合理假设声子的最小波长是原子间距的两倍,如最下一图所示。固体中有 个原子,我们的固体是正方体,因此每一条边有 个原子,原子间距为 ,从而最小波长为:

 

最大的模数 (对于光子是无限大)为:

 

这设置了三重能量求和的上限:

 

对于缓慢变化的、表现良好的函数,求和可以用积分来代替(又称为托马斯-费米近似):

 

至此,我们还没有提到 :能量为 的声子的数目。声子服从玻色-爱因斯坦统计。它们的分布由著名的玻色-爱因斯坦公式给出:

 

由于一个声子有三个可能的偏振态(一个纵向、两个横向,大致携带相同的能量),需把以上公式乘以3:

 

实际上我们可以定义等效声速 ,也就是说,德拜温度 (见下文)与 成正比。更加精确地讲, ,其中我们区分了纵向和横向的声波速度(贡献分别为1/3和2/3)。德拜温度或有效声速是晶体的硬度的一种衡量。

把此式代入能量积分,得:

 

这比光子的情况容易得多,因为(在半经典式的处理中)光子的频率(也即这个三重积分)是无上界的。但如上面图所示,这一点对于声子不成立。为了近似计算这个三重积分,德拜使用了球坐标系

 

并用八分之一球(球在一个卦限内的部分)来近似代替立方体:

 

其中 是球的半径,通过保持立方体和八分之一球中的粒子数目相同来得出。立方体的体积是 

 

因此:

 

用球的积分来代替立方体积分这一近似是德拜模型不准确性的另一来源。

先积分掉角向部分:

 

再利用变量代换 

 

为简化表达式,可以定义德拜温度 ——它的量纲与温度相同,因物质而异:

 

于是比内能为:

 

其中 是(第三)德拜函数

 微分,我们便得到无量纲热容:

 

这个公式给出了任何温度下德拜模型的结果。下面更简单的公式给出了低温和高温极限下的渐近表现。前面已经提到,这两个渐进表现是精确的,而中间温度的表现则不然。其根本原因在于,低温和高温近似下,德拜模型都给出了其一,低频下精确的色散关系 ,其二,精确的状态密度(单位频率间隔内的声子数目) 

德拜的推导 编辑

实际上,德拜用不同且更简单的方法推出了这个公式。利用连续介质固体力学,他发现频率小于某个特定值的振动状态的数目趋近于:

 

其中 是体积, 是一个从弹性系数和密度计算出的因子。把这与温度T的量子谐振子的期望能量(已经由爱因斯坦在他的模型中使用)结合,便给出能量:

 

如果振动频率趋于无穷大。这个形式给出了 的表现,它在低温时是正确的。但德拜意识到N个原子不可能有超过 个振动状态。他假设在原子固体中,振动状态的频谱将继续遵循以上的规则,直到一个最大频率 使得总的状态数目为 为止:

 

德拜知道这个假设不是真正正确的(较高的频率比假设要更加密集),但它保证了高温时的正确表现(杜隆-珀蒂定律)。于是,能量由以下给出:

 
 

其中  

 
 

其中 是一个函数,后来命名为三阶德拜函数

低温极限 编辑

 
比較德拜、愛因斯坦分別對於熱容與溫度之間關係的預測。

德拜固体的温度称为低的,如果 ,在这个情况下:

 

这个定积分可以精确计算:

 

在低温极限中,德拜模型的局限不适用,它给出了(声子)热容、温度、弹性系数,以及每个原子的体积(后面的数量是包含在德拜温度之中的)之间的正确关系。

高温极限 编辑

德拜固体的温度称为高的,如果  如果 ,得出:

 
 

这就是杜隆-珀蒂定律,它是相当准确的,虽然它没有考虑非谐性,这造成了热容进一步上升。如果固体是导体半导体,那么它的总热容还可能含有电子的不可忽略的贡献。

参见 编辑

参考文献 编辑

  1. ^ Debye, Peter. Zur Theorie der spezifischen Waerme. Annalen der Physik. 1912, 39 (4): 789–839. Bibcode:1912AnP...344..789D. doi:10.1002/andp.19123441404 (德语). 

外部链接 编辑

  • 用低温恒温器来决定石英的比热、热导率和电导率 (页面存档备份,存于互联网档案馆

德拜模型, 此條目翻譯品質不佳, 翻譯者可能不熟悉中文或原文語言, 也可能使用了機器翻譯, 請協助翻譯本條目或重新編寫, 并注意避免翻译腔的问题, 明顯拙劣的翻譯請改掛, href, template, html, class, redirect, title, template, href, wikipedia, html, class, redirect, title, wikipedia, 提交刪除, 在热力学和固体物理学中, 英語, debye, model, 是由彼得, 德拜在1912年提出的方法, 用于. 此條目翻譯品質不佳 翻譯者可能不熟悉中文或原文語言 也可能使用了機器翻譯 請協助翻譯本條目或重新編寫 并注意避免翻译腔的问题 明顯拙劣的翻譯請改掛 a href Template D html class mw redirect title Template D d a a href Wikipedia CSD html G13 class mw redirect title Wikipedia CSD G13 a 提交刪除 在热力学和固体物理学中 德拜模型 英語 Debye model 是由彼得 德拜在1912年提出的方法 1 用于估算声子对固体的比热 热容 的贡献 德拜模型把原子晶格的振动 熱 当作盒中的聲子处理 而与此不同的爱因斯坦模型则将固体作为许多单独的 不相互作用的量子谐振子处理 德拜模型正确地预言了低温时固体的热容 与T3 displaystyle T 3 成正比 德拜T3 displaystyle T 3 定律 与爱因斯坦模型一样 它在高温时也与杜隆 珀蒂定律相符合 但由于模型的简单假设 它在中间的温度不太准确 彼得 德拜 目录 1 推导 2 德拜的推导 3 低温极限 4 高温极限 5 参见 6 参考文献 7 外部链接推导 编辑德拜模型是普朗克黑体辐射定律的固体版本 后者把电磁辐射视为盒中的光子气体 而德拜模型把原子的振动视为盒中的声子 盒子就是这块固体 它们大部分的计算步骤都是相同的 因为声子气和光子气都是有线性色散关系的玻色气体 考虑一个边长为L displaystyle L nbsp 的立方体 从盒中粒子一文可知 盒中的 沿某一边长方向传播的 声波由于共振效应 其波长只能为 ln 2Ln displaystyle lambda n 2L over n nbsp 其中n displaystyle n nbsp 是整数 一个声子的能量是 En hnn displaystyle E n h nu n nbsp 其中h displaystyle h nbsp 是普朗克常数 nn displaystyle nu n nbsp 是声子的频率 近似认为频率与波长成反比 则有 En hnn hcsln hcsn2L displaystyle E n h nu n hc s over lambda n hc s n over 2L nbsp 其中cs displaystyle c s nbsp 是固体中的声速 推广到三维的情况 沿任意方向传播的声子 En2 pn2cs2 hcs2L 2 nx2 ny2 nz2 displaystyle E n 2 p n 2 c s 2 left hc s over 2L right 2 left n x 2 n y 2 n z 2 right nbsp 其中pn displaystyle p n nbsp 为声子的动量 频率与波长成反比的近似 即声速恒定 对于低能量声子是准确的 但对于高能量声子则不然 参见声子 这是德拜模型的局限之一 导致其对中间温度的预言不正确 而对低温和高温都很精确 下面来计算盒中的总能量 U nEnN En displaystyle U sum n E n bar N E n nbsp 其中N En displaystyle bar N E n nbsp 是盒中能量为En displaystyle E n nbsp 的声子的数目 换句话说 总能量等于某能量的声子数目乘以其能量再对各能量求和 在三维空间中 我们有 U nx ny nzEnN En displaystyle U sum n x sum n y sum n z E n bar N E n nbsp 这是德拜模型和普朗克黑体辐射定律的不同之处 与盒中的电磁辐射不一样 由于声子不能有无限大的频率 所以盒中声子只有有限个能量状态 它的频率由它的传播介质 固体的原子晶格所约束 考虑以下的横向声子的插图 nbsp dd dd dd dd 可以合理假设声子的最小波长是原子间距的两倍 如最下一图所示 固体中有N displaystyle N nbsp 个原子 我们的固体是正方体 因此每一条边有N3 displaystyle sqrt 3 N nbsp 个原子 原子间距为L N3 displaystyle L sqrt 3 N nbsp 从而最小波长为 lmin 2LN3 displaystyle lambda rm min 2L over sqrt 3 N nbsp 最大的模数n displaystyle n nbsp 对于光子是无限大 为 nmax N3 displaystyle n rm max sqrt 3 N nbsp 这设置了三重能量求和的上限 U nxN3 nyN3 nzN3EnN En displaystyle U sum n x sqrt 3 N sum n y sqrt 3 N sum n z sqrt 3 N E n bar N E n nbsp 对于缓慢变化的 表现良好的函数 求和可以用积分来代替 又称为托马斯 费米近似 U 0N3 0N3 0N3E n N E n dnxdnydnz displaystyle U approx int 0 sqrt 3 N int 0 sqrt 3 N int 0 sqrt 3 N E n bar N left E n right dn x dn y dn z nbsp 至此 我们还没有提到N E displaystyle bar N E nbsp 能量为E displaystyle E nbsp 的声子的数目 声子服从玻色 爱因斯坦统计 它们的分布由著名的玻色 爱因斯坦公式给出 N BE 1eE kT 1 displaystyle langle N rangle BE 1 over e E kT 1 nbsp 由于一个声子有三个可能的偏振态 一个纵向 两个横向 大致携带相同的能量 需把以上公式乘以3 N E 3eE kT 1 displaystyle bar N E 3 over e E kT 1 nbsp 实际上我们可以定义等效声速cs ceff displaystyle c s c rm eff nbsp 也就是说 德拜温度Td displaystyle T d nbsp 见下文 与ceff displaystyle c rm eff nbsp 成正比 更加精确地讲 TD 3 ceff 3 1 3 clong 3 2 3 ctrans 3 displaystyle T D 3 propto c rm eff 3 1 3 c rm long 3 2 3 c rm trans 3 nbsp 其中我们区分了纵向和横向的声波速度 贡献分别为1 3和2 3 德拜温度或有效声速是晶体的硬度的一种衡量 把此式代入能量积分 得 U 0N3 0N3 0N3E n 3eE n kT 1dnxdnydnz displaystyle U int 0 sqrt 3 N int 0 sqrt 3 N int 0 sqrt 3 N E n 3 over e E n kT 1 dn x dn y dn z nbsp 这比光子的情况容易得多 因为 在半经典式的处理中 光子的频率 也即这个三重积分 是无上界的 但如上面图所示 这一点对于声子不成立 为了近似计算这个三重积分 德拜使用了球坐标系 nx ny nz ncos 8cos ϕ ncos 8sin ϕ nsin 8 displaystyle n x n y n z n cos theta cos phi n cos theta sin phi n sin theta nbsp 并用八分之一球 球在一个卦限内的部分 来近似代替立方体 U 0p 2 0p 2 0RE n 3eE n kT 1n2sin 8dnd8dϕ displaystyle U approx int 0 pi 2 int 0 pi 2 int 0 R E n 3 over e E n kT 1 n 2 sin theta dn d theta d phi nbsp 其中R displaystyle R nbsp 是球的半径 通过保持立方体和八分之一球中的粒子数目相同来得出 立方体的体积是N displaystyle N nbsp N 1843pR3 displaystyle N 1 over 8 4 over 3 pi R 3 nbsp 因此 R 6Np3 displaystyle R sqrt 3 6N over pi nbsp 用球的积分来代替立方体积分这一近似是德拜模型不准确性的另一来源 先积分掉角向部分 U 3p2 0Rhcsn2Ln2ehcsn 2LkT 1dn displaystyle U 3 pi over 2 int 0 R hc s n over 2L n 2 over e hc s n 2LkT 1 dn nbsp 再利用变量代换x hcsn2LkT displaystyle x hc s n over 2LkT nbsp U 3p2kT 2LkThcs 3 0hcsR 2LkTx3ex 1dx displaystyle U 3 pi over 2 kT left 2LkT over hc s right 3 int 0 hc s R 2LkT x 3 over e x 1 dx nbsp 为简化表达式 可以定义德拜温度TD displaystyle T D nbsp 它的量纲与温度相同 因物质而异 TD def hcsR2Lk hcs2Lk6Np3 hcs2k6pNV3 displaystyle T D stackrel mathrm def hc s R over 2Lk hc s over 2Lk sqrt 3 6N over pi hc s over 2k sqrt 3 6 over pi N over V nbsp 于是比内能为 UNk 9T TTD 3 0TD Tx3ex 1dx 3TD3 TDT displaystyle frac U Nk 9T left T over T D right 3 int 0 T D T x 3 over e x 1 dx 3TD 3 left T D over T right nbsp 其中D3 x displaystyle D 3 x nbsp 是 第三 德拜函数 对T displaystyle T nbsp 微分 我们便得到无量纲热容 CVNk 9 TTD 3 0TD Tx4ex ex 1 2dx displaystyle frac C V Nk 9 left T over T D right 3 int 0 T D T x 4 e x over left e x 1 right 2 dx nbsp 这个公式给出了任何温度下德拜模型的结果 下面更简单的公式给出了低温和高温极限下的渐近表现 前面已经提到 这两个渐进表现是精确的 而中间温度的表现则不然 其根本原因在于 低温和高温近似下 德拜模型都给出了其一 低频下精确的色散关系E n displaystyle E nu nbsp 其二 精确的状态密度 单位频率间隔内的声子数目 g n dn 3N displaystyle int g nu rm d nu equiv 3N nbsp 德拜的推导 编辑实际上 德拜用不同且更简单的方法推出了这个公式 利用连续介质的固体力学 他发现频率小于某个特定值的振动状态的数目趋近于 n 13n3VF displaystyle n sim 1 over 3 nu 3 VF nbsp 其中V displaystyle V nbsp 是体积 F displaystyle F nbsp 是一个从弹性系数和密度计算出的因子 把这与温度T的量子谐振子的期望能量 已经由爱因斯坦在他的模型中使用 结合 便给出能量 U 0 hn3VFehn kT 1dn displaystyle U int 0 infty h nu 3 VF over e h nu kT 1 d nu nbsp 如果振动频率趋于无穷大 这个形式给出了T3 displaystyle T 3 nbsp 的表现 它在低温时是正确的 但德拜意识到N个原子不可能有超过3N displaystyle 3N nbsp 个振动状态 他假设在原子固体中 振动状态的频谱将继续遵循以上的规则 直到一个最大频率nm displaystyle nu m nbsp 使得总的状态数目为3N displaystyle 3N nbsp 为止 3N 13nm3VF displaystyle 3N 1 over 3 nu m 3 VF nbsp 德拜知道这个假设不是真正正确的 较高的频率比假设要更加密集 但它保证了高温时的正确表现 杜隆 珀蒂定律 于是 能量由以下给出 U 0nmhn3VFehn kT 1dn displaystyle U int 0 nu m h nu 3 VF over e h nu kT 1 d nu nbsp VFkT kT h 3 0TD Tx3ex 1dx displaystyle VFkT kT h 3 int 0 T D T x 3 over e x 1 dx nbsp dd 其中TD displaystyle T D nbsp 是hnm k displaystyle h nu m k nbsp 9NkT T TD 3 0TD Tx3ex 1dx displaystyle 9NkT T T D 3 int 0 T D T x 3 over e x 1 dx nbsp dd 3NkTD3 TD T displaystyle 3NkTD 3 T D T nbsp dd 其中D3 displaystyle D 3 nbsp 是一个函数 后来命名为三阶德拜函数 低温极限 编辑 nbsp 比較德拜 愛因斯坦分別對於熱容與溫度之間關係的預測 德拜固体的温度称为低的 如果T TD displaystyle T ll T D nbsp 在这个情况下 CVNk 9 TTD 3 0 x4ex ex 1 2dx displaystyle frac C V Nk sim 9 left T over T D right 3 int 0 infty x 4 e x over left e x 1 right 2 dx nbsp 这个定积分可以精确计算 CVNk 12p45 TTD 3 displaystyle frac C V Nk sim 12 pi 4 over 5 left T over T D right 3 nbsp 在低温极限中 德拜模型的局限不适用 它给出了 声子 热容 温度 弹性系数 以及每个原子的体积 后面的数量是包含在德拜温度之中的 之间的正确关系 高温极限 编辑德拜固体的温度称为高的 如果T TD displaystyle T gg T D nbsp ex 1 x displaystyle e x 1 approx x nbsp 如果 x lt lt 1 displaystyle x lt lt 1 nbsp 得出 CVNk 9 TTD 3 0TD Tx4x2dx displaystyle frac C V Nk sim 9 left T over T D right 3 int 0 T D T x 4 over x 2 dx nbsp CVNk 3 displaystyle frac C V Nk sim 3 nbsp 这就是杜隆 珀蒂定律 它是相当准确的 虽然它没有考虑非谐性 这造成了热容进一步上升 如果固体是导体或半导体 那么它的总热容还可能含有电子的不可忽略的贡献 参见 编辑玻色气体 盒中气体参考文献 编辑 Debye Peter Zur Theorie der spezifischen Waerme Annalen der Physik 1912 39 4 789 839 Bibcode 1912AnP 344 789D doi 10 1002 andp 19123441404 德语 外部链接 编辑用低温恒温器来决定石英的比热 热导率和电导率 页面存档备份 存于互联网档案馆 取自 https zh wikipedia org w index php title 德拜模型 amp oldid 68650184, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,

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