Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill, Inc. 1976. ISBN 0-07-054235.
Michael Spivak. Calculus on Manifolds. W. A. Benjamin, Inc.; Menlo Park CA. 1965. ISBN 66-10910.
一月 25, 2023
微分形式, 此條目介紹的是数学概念, 关于物理方程的, 积分形式, 请见, 微分方程, 积分方程, 英語, differential, form, 是多变量微积分, 微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念, 现代意义上的, 及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法, 都是由法国数学家埃里, 嘉当引入的, 例如, 一元微积分中的表达式f, 是1, 形式的一个例子, 并且可以在f, 定义域内的一个区间, 上进行积分, displaystyle, 类似地, 表达式f, 是2, 形式的一种, 它在可定向曲面s, 上有曲面积分,. 此條目介紹的是数学概念 关于物理方程的 微分形式 与 积分形式 请见 微分方程 和 积分方程 微分形式 英語 Differential form 是多变量微积分 微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念 现代意义上的微分形式 及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法 都是由法国数学家埃里 嘉当引入的 例如 一元微积分中的表达式f x dx 是1 形式的一个例子 并且可以在f 定义域内的一个区间 a b 上进行积分 a b f x d x displaystyle int a b f x dx 类似地 表达式f x y z dx dy g x y z dz dx h x y z dy dz 是2 形式的一种 它在可定向曲面S 上有曲面积分 S f x y z d x d y g x y z d z d x h x y z d y d z displaystyle int S f x y z dx wedge dy g x y z dz wedge dx h x y z dy wedge dz 符号 表示两个微分形式的外积 有时候也称为楔积 类似地 3 形式f x y z dx dy dz 表示可以在空间的一个区域进行积分的体积元 一般地 k 形式是一个可以在k 维集合上进行积分的对象 并且其坐标微分是k 次齐次的 目录 1 简介 2 楔积的性質 3 抽象 简明 定义及讨论 4 微分形式的积分 5 微分形式的操作 6 参考简介 编辑我们从Rn中的开集的情形开始 一个0 形式 0 form 定义为一个光滑函数f 当我们在Rn的m 维子空间S上对函数f积分时 我们将积分写作 S f d x 1 d x m displaystyle int S f dx 1 ldots dx m 把dx1 dxn当作形式化的对象 而非让积分看起来像个黎曼和的标记 我们把这些和他们的负 dx1 dxn叫做基本1 形式 我们再在其上定义一种乘法规则楔积 这种乘法只需满足反交换的条件 对所有i j d x i d x j d x j d x i displaystyle dx i wedge dx j dx j wedge dx i 注意这意味着 d x i d x i 0 displaystyle dx i wedge dx i 0 我们把这些乘积的集合叫做基本2 形式 类似的我们定义乘积 d x i d x j d x k displaystyle dx i wedge dx j wedge dx k 的集合为基本 3 形式 这里假定n至少为3 现在定义一个单项式 k 形式为一个0 形式乘以一个基本的k 形式 定义k 形式为一些单项式k 形式的和 楔积可以推广到这些和上 f d x I g d x J p d x K q d x L displaystyle f dx I g dx J wedge p dx K q dx L f p d x I d x K f q d x I d x L g p d x J d x K g q d x J d x L displaystyle f cdot p dx I wedge dx K f cdot q dx I wedge dx L g cdot p dx J wedge dx K g cdot q dx J wedge dx L dd 等等 这里dxI和类似的项表示k 形式 换句话说 和的积就是所有可能的积的和 现在 我们来定义光滑流形上的k 形式 为此 我们假设有一个开坐标覆盖 我们可以在每个坐标邻域上定义一个k 形式 一个全局的k 形式就是一组坐标领域上的k 形式 他们在坐标邻域的交集上一致 这种一致的精确定义 见流形 楔积的性質 编辑若f g w为任意微分形式 则 w f g w f w g displaystyle w wedge f g w wedge f w wedge g 若f为k 形式 g为l 形式 f g 1 k l g f displaystyle f wedge g 1 kl g wedge f 抽象 简明 定义及讨论 编辑在微分几何中 k阶微分k 形式是一个流形的余切丛的k阶外幂 exterior power 的光滑截面 在流形的每一点p 一个k 形式给出一个从切空间的k阶笛卡儿幂 cartesian power 到R的多线性映射 例如 光滑函数 0 形式 的微分就是一个1 形式 1 形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念 在这个上下文中 他们可以定义为向量的的实值函数 并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间 1 形式的一个旧称就是 协变向量 微分形式的积分 编辑k阶微分形式可以在k维链 chain 上积分 若k 0 这就是函数在点上的取值 其他的k 1 2 3 对应于线积分 曲面积分 体积分等等 设 w a i 1 i k x d x i 1 d x i k displaystyle omega sum a i 1 cdots i k mathbf x dx i 1 wedge cdots wedge dx i k 为一微分形式 设S为一个我们想在其上积分的集合 其中S有参数化形式 S u x 1 u x n u displaystyle S mathbf u x 1 mathbf u cdots x n mathbf u u属于参数域D 则 Rudin 1976 定义S上微分形式的积分为 S w D a i 1 i k S u x i 1 x i k u 1 u k d u displaystyle int S omega int D sum a i 1 cdots i k S mathbf u frac partial x i 1 cdots x i k partial u 1 cdots u k d mathbf u 其中 x i 1 x i k u 1 u k displaystyle frac partial x i 1 cdots x i k partial u 1 cdots u k 是雅可比矩阵的行列式 参见斯托克斯定理 Stokes Theorem 微分形式的操作 编辑一个流形上所有k 形式的集合是一个向量空间 而且 其上有三类操作 楔积 外微分 用d表示 和李导数 d2 0 细节请见德拉姆上同调 外导数和积分的基本关系由推广的斯托克斯定理给出 它也同时给出了德拉姆上同调和链的同调的对偶性 参考 编辑Walter Rudin Principles of Mathematical Analysis New York McGraw Hill Inc 1976 ISBN 0 07 054235 Michael Spivak Calculus on Manifolds W A Benjamin Inc Menlo Park CA 1965 ISBN 66 10910 取自 https zh wikipedia org w index php title 微分形式 amp oldid 68780852, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,