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微分形式

微分形式(英語:Differential form)是多变量微积分微分拓扑张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式,及其以楔积外微分结构形成外代数的想法,都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。

例如,一元微积分中的表达式f(x) dx1-形式的一个例子,并且可以在f定义域内的一个区间[a, b]上进行积分

类似地,表达式f(x, y, z) dxdy + g(x, y, z) dzdx + h(x, y, z) dydz2-形式的一种,它在可定向曲面S上有曲面积分:

符号表示两个微分形式的外积,有时候也称为楔积。类似地,3-形式f(x, y, z) dxdydz表示可以在空间的一个区域进行积分的体积元。一般地,k-形式是一个可以在k-维集合上进行积分的对象,并且其坐标微分是k次齐次的。

简介

我们从Rn中的开集的情形开始。一个0-形式(0-form)定义为一个光滑函数f. 当我们在Rnm-维子空间S上对函数f积分时,我们将积分写作:

 

dx1, ..., dxn当作形式化的对象,而非让积分看起来像个黎曼和的标记。我们把这些和他们的负−dx1, ..., −dxn叫做基本1-形式。

我们再在其上定义一种乘法规则楔积,这种乘法只需满足反交换的条件: 对所有i,j

 

注意这意味着

 .

我们把这些乘积的集合叫做基本2-形式,类似的我们定义乘积

 

的集合为基本'3-形式,这里假定n至少为3。现在定义一个单项式'k-形式为一个0-形式乘以一个基本的k-形式,定义k-形式为一些单项式k-形式的和。

楔积可以推广到这些和上:

 
 

等等,这里dxI和类似的项表示k-形式。换句话说,和的积就是所有可能的积的和。

现在,我们来定义光滑流形上的k-形式。为此,我们假设有一个开坐标覆盖。我们可以在每个坐标邻域上定义一个k-形式;一个全局的k-形式就是一组坐标领域上的k-形式,他们在坐标邻域的交集上一致。这种一致的精确定义,见流形

楔积的性質

f, g,w为任意微分形式,则

 

fk-形式,gl-形式:

 

抽象(简明)定义及讨论

微分几何中,k微分k-形式是一个流形余切丛k阶外幂(exterior power)的光滑截面。在流形的每一点p,一个k-形式给出一个从切空间k阶笛卡儿幂(cartesian power)到R的多线性映射。

例如,光滑函数(0-形式)的微分就是一个1-形式。

1-形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。在这个上下文中,他们可以定义为向量的的实值函数,并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间。1-形式的一个旧称就是"协变向量"。

微分形式的积分

k阶微分形式可以在k(chain)上积分。若k = 0,这就是函数在点上的取值。其他的k = 1, 2, 3, ...对应于线积分,曲面积分,体积分等等。

 

为一微分形式,设S为一个我们想在其上积分的集合,其中S有参数化形式

 

u属于参数域D。则[Rudin, 1976]定义S上微分形式的积分为

 

其中

 

雅可比矩阵的行列式。

参见斯托克斯定理(Stokes' Theorem)。

微分形式的操作

一个流形上所有k-形式的集合是一个向量空间。而且,其上有三类操作:楔积, 外微分(用d表示),和李导数d2 = 0,细节请见德拉姆上同调

外导数和积分的基本关系由推广的斯托克斯定理给出,它也同时给出了德拉姆上同调和链的同调的对偶性。

参考

  • Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill, Inc. 1976. ISBN 0-07-054235. 
  • Michael Spivak. Calculus on Manifolds. W. A. Benjamin, Inc.; Menlo Park CA. 1965. ISBN 66-10910. 

微分形式, 此條目介紹的是数学概念, 关于物理方程的, 积分形式, 请见, 微分方程, 积分方程, 英語, differential, form, 是多变量微积分, 微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念, 现代意义上的, 及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法, 都是由法国数学家埃里, 嘉当引入的, 例如, 一元微积分中的表达式f, 是1, 形式的一个例子, 并且可以在f, 定义域内的一个区间, 上进行积分, displaystyle, 类似地, 表达式f, 是2, 形式的一种, 它在可定向曲面s, 上有曲面积分,. 此條目介紹的是数学概念 关于物理方程的 微分形式 与 积分形式 请见 微分方程 和 积分方程 微分形式 英語 Differential form 是多变量微积分 微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念 现代意义上的微分形式 及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法 都是由法国数学家埃里 嘉当引入的 例如 一元微积分中的表达式f x dx 是1 形式的一个例子 并且可以在f 定义域内的一个区间 a b 上进行积分 a b f x d x displaystyle int a b f x dx 类似地 表达式f x y z dx dy g x y z dz dx h x y z dy dz 是2 形式的一种 它在可定向曲面S 上有曲面积分 S f x y z d x d y g x y z d z d x h x y z d y d z displaystyle int S f x y z dx wedge dy g x y z dz wedge dx h x y z dy wedge dz 符号 表示两个微分形式的外积 有时候也称为楔积 类似地 3 形式f x y z dx dy dz 表示可以在空间的一个区域进行积分的体积元 一般地 k 形式是一个可以在k 维集合上进行积分的对象 并且其坐标微分是k 次齐次的 目录 1 简介 2 楔积的性質 3 抽象 简明 定义及讨论 4 微分形式的积分 5 微分形式的操作 6 参考简介 编辑我们从Rn中的开集的情形开始 一个0 形式 0 form 定义为一个光滑函数f 当我们在Rn的m 维子空间S上对函数f积分时 我们将积分写作 S f d x 1 d x m displaystyle int S f dx 1 ldots dx m 把dx1 dxn当作形式化的对象 而非让积分看起来像个黎曼和的标记 我们把这些和他们的负 dx1 dxn叫做基本1 形式 我们再在其上定义一种乘法规则楔积 这种乘法只需满足反交换的条件 对所有i j d x i d x j d x j d x i displaystyle dx i wedge dx j dx j wedge dx i 注意这意味着 d x i d x i 0 displaystyle dx i wedge dx i 0 我们把这些乘积的集合叫做基本2 形式 类似的我们定义乘积 d x i d x j d x k displaystyle dx i wedge dx j wedge dx k 的集合为基本 3 形式 这里假定n至少为3 现在定义一个单项式 k 形式为一个0 形式乘以一个基本的k 形式 定义k 形式为一些单项式k 形式的和 楔积可以推广到这些和上 f d x I g d x J p d x K q d x L displaystyle f dx I g dx J wedge p dx K q dx L f p d x I d x K f q d x I d x L g p d x J d x K g q d x J d x L displaystyle f cdot p dx I wedge dx K f cdot q dx I wedge dx L g cdot p dx J wedge dx K g cdot q dx J wedge dx L dd 等等 这里dxI和类似的项表示k 形式 换句话说 和的积就是所有可能的积的和 现在 我们来定义光滑流形上的k 形式 为此 我们假设有一个开坐标覆盖 我们可以在每个坐标邻域上定义一个k 形式 一个全局的k 形式就是一组坐标领域上的k 形式 他们在坐标邻域的交集上一致 这种一致的精确定义 见流形 楔积的性質 编辑若f g w为任意微分形式 则 w f g w f w g displaystyle w wedge f g w wedge f w wedge g 若f为k 形式 g为l 形式 f g 1 k l g f displaystyle f wedge g 1 kl g wedge f 抽象 简明 定义及讨论 编辑在微分几何中 k阶微分k 形式是一个流形的余切丛的k阶外幂 exterior power 的光滑截面 在流形的每一点p 一个k 形式给出一个从切空间的k阶笛卡儿幂 cartesian power 到R的多线性映射 例如 光滑函数 0 形式 的微分就是一个1 形式 1 形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念 在这个上下文中 他们可以定义为向量的的实值函数 并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间 1 形式的一个旧称就是 协变向量 微分形式的积分 编辑k阶微分形式可以在k维链 chain 上积分 若k 0 这就是函数在点上的取值 其他的k 1 2 3 对应于线积分 曲面积分 体积分等等 设 w a i 1 i k x d x i 1 d x i k displaystyle omega sum a i 1 cdots i k mathbf x dx i 1 wedge cdots wedge dx i k 为一微分形式 设S为一个我们想在其上积分的集合 其中S有参数化形式 S u x 1 u x n u displaystyle S mathbf u x 1 mathbf u cdots x n mathbf u u属于参数域D 则 Rudin 1976 定义S上微分形式的积分为 S w D a i 1 i k S u x i 1 x i k u 1 u k d u displaystyle int S omega int D sum a i 1 cdots i k S mathbf u frac partial x i 1 cdots x i k partial u 1 cdots u k d mathbf u 其中 x i 1 x i k u 1 u k displaystyle frac partial x i 1 cdots x i k partial u 1 cdots u k 是雅可比矩阵的行列式 参见斯托克斯定理 Stokes Theorem 微分形式的操作 编辑一个流形上所有k 形式的集合是一个向量空间 而且 其上有三类操作 楔积 外微分 用d表示 和李导数 d2 0 细节请见德拉姆上同调 外导数和积分的基本关系由推广的斯托克斯定理给出 它也同时给出了德拉姆上同调和链的同调的对偶性 参考 编辑Walter Rudin Principles of Mathematical Analysis New York McGraw Hill Inc 1976 ISBN 0 07 054235 Michael Spivak Calculus on Manifolds W A Benjamin Inc Menlo Park CA 1965 ISBN 66 10910 取自 https zh wikipedia org w index php title 微分形式 amp oldid 68780852, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,

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