循环码

在编码理论中，循环码（英語：cyclic code）是一种分組碼，每个码字循环移位会得到同样属于该码的另一个码字。它们是拥有便于误差检测与校正的纠错码。

若00010111是有效码字，将其右循环移位得到10001011。若该码是循环码，则10001011也会是一个有效的码字。一般来说，在右循环移位会将最低位（LSB）移到最左边的位置，于是变为了最高位（MSB）；其他位置会向右移一位。

定义

令 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  为有限域 ${\displaystyle GF(q)}$  上的分组长度为 n 的线性码（英语：linear code）。如果对于 C 中的每个码字（英语：codeword） c=(c₁,...,c_n)，由循环移位得到的 ${\displaystyle GF(q)^{n}}$  中的字 (c_n,c₁,...,c_n-1) 仍是一个码字，则 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  称为循环码。由于向右循环移一位就相当于向左循环移 n − 1 位，循环码也可以用循环左移来定义。因此如果任何循环移位都不变的线性码 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  是精确循环码。

循环码对码有一些附加结构约束。它们都是基于伽罗华域，由于其结构性质，循环码对差错控制很有用。它们与伽罗华域密切相关，因此编码和译码算法都方便计算。

例子

举例来说，若 A=${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$  而 n=3，(1,1,0)循环码中包含的码字的集合为

${\displaystyle ((0,0,0),(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))\,}$ .

它对应于 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]/(x^{3}-1)}$  中由 ${\displaystyle (1+x)}$  生成的理想。

注意到 ${\displaystyle (1+x)}$  是该多项式环中的不可约多项式，因此该码为不可约码。

该码的幂等为多项式 ${\displaystyle x+x^{2}}$ ，对应于码字 (1,1,0)。

参见

• 循環冗餘校驗
• BCH码

参考文献

• Blahut, Richard E., Algebraic Codes for Data Transmission 2nd, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-55374-1 
• Hill, Raymond, A First Course In Coding Theory, Oxford University Press, 1988, ISBN 0-19-853803-0 
• MacWilliams, F. J.; Sloane, N. J. A., The Theory of Error-Correcting Codes, New York: North-Holland Publishing, 1977, ISBN 0-444-85011-2 
• Van Lint, J. H., Introduction to Coding Theory, Graduate Texts in Mathematics 86 3rd, Springer Verlag, 1998, ISBN 3-540-64133-5 

延伸阅读

• Ranjan Bose, Information theory, coding and cryptography, ISBN 0-07-048297-7
• Irving S. Reed（英语：Irving S. Reed） and Xuemin Chen, Error-Control Coding for Data Networks, Boston: Kluwer Academic Publishers, 1999, ISBN 0-7923-8528-4.
• Scott A. Vanstone（英语：Scott A. Vanstone）, Paul C. Van Oorschot, An introduction to error correcting codes with applications, ISBN 0-7923-9017-2

外部链接

• John Gill's (Stanford) class notes – , EE 387.
• Jonathan Hall's (MSU) class notes – Chapter 8. Cyclic codes （页面存档备份，存于互联网档案馆） - pp. 100 - 123
• David Terr. 循环码. MathWorld.