待定係數法

待定系数法是求某些非齐次常微分方程和递推关系的特解的方法。它与微分算子方法密切相关，但不是使用特定类型的微分算子（annihilator）来找到特定解决方案的最佳可能形式，而是对适当的形式进行擬設或猜测，然后通过对所得方程进行微分来对其进行测试。对于复杂的方程式，零化器方法或参数变化的执行耗时较少。

待定系数不像參數變換法那样普遍，因为它仅适用于遵循特定形式的微分方程。

方法

考虑以下形式的线性非齐次常微分方程

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=g(x)}$ 

此處${\displaystyle y^{(i)}}$ 表示${\displaystyle y}$ 的第i个导数，${\displaystyle c_{i}}$ 表示${\displaystyle x}$ 的一個函數

待定系数法提供了一种在满足两个条件时获得此ODE解的直接方法：^[1]

1. ${\displaystyle c_{i}}$ 是常量
2. g(x)是常数，多项式函数，指数函数${\displaystyle e^{\alpha x}}$ ,正弦或余弦函数${\displaystyle \sin {\beta x}}$ 或${\displaystyle \cos {\beta x}}$ （${\displaystyle {\alpha }}$ ，${\displaystyle {\beta }}$ 是常數）

该方法包括寻找一般齐次解是${\displaystyle y_{c}}$ 为互补线性齐次微分方程

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=0,}$ 

和一个特定的积分是p基于线性非齐次常微分方程的${\displaystyle y_{p}}$ 。那么一般的解决方法是y到线性非齐次常微分方程将是：

${\displaystyle y=y_{c}+y_{p}.}$ ^[2]

如果${\displaystyle g(x)}$ 由两个函数${\displaystyle h(x)+w(x)}$ 组成的和，我们说${\displaystyle y_{p_{1}}}$ 是基於${\displaystyle h(x)}$ 的解，${\displaystyle y_{p_{2}}}$ 是基於${\displaystyle w(x)}$ 的解。然后使用叠加原理，我们可以得到特定的积分${\displaystyle y_{p}}$ 是^[2]

${\displaystyle y_{p}=y_{p_{1}}+y_{p_{2}}.}$ 

参考资料

1. Zill, Dennis G., Warren S. Wright. Advanced Engineering Mathematics. Jones and Bartlett. 2014: 125. ISBN 978-1-4496-7977-4. 
2. Dennis G. Zill. A First Course in Differential Equations. Cengage Learning. 14 May 2008. ISBN 978-0-495-10824-5.