反常積分, 此条目的主題是无穷限或无界的积分, 关于, 廣義黎曼積分, 也簡稱, 廣義積分, 請見, henstock, kurzweil积分, 廣義積分, 又称为反常积分, 异常积分, 英語, improper, integral, 是对普通定积分的推广, 广义积分可以分成兩類, 第一類又稱為無窮積分, 指積分區間的上限或下限為無窮的積分, 第二類稱為瑕積分, 指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分, 目录, 第一類, 定義, 推廣定義, 與柯西主值的聯繫, 第二類, 定義, 推廣定義, 與柯西主值的聯繫, 参. 此条目的主題是无穷限或无界的积分 关于 廣義黎曼積分 也簡稱 廣義積分 請見 Henstock Kurzweil积分 廣義積分 又称为反常积分 异常积分 英語 Improper integral 是对普通定积分的推广 广义积分可以分成兩類 第一類又稱為無窮積分 指積分區間的上限或下限為無窮的積分 第二類稱為瑕積分 指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分 目录 1 第一類反常積分 1 1 定義 1 2 推廣定義 1 3 與柯西主值的聯繫 2 第二類反常積分 2 1 定義 2 2 推廣定義 2 3 與柯西主值的聯繫 3 参考文献 4 参见第一類反常積分 编辑 第一類反常積分 上限或下限為無限的積分 定義 编辑 第一類反常積分是無窮積分 指積分區間的上限或下限中含有無窮 的积分 數學定義如下 设函数 f x 在 a 上連續且可積 定義無窮積分 a f x d x lim u a u f x d x displaystyle int a infty f x dx lim u to infty int a u f x dx 类似的 设函数 f x 在 a 上連續且可積 定義無窮積分 a f x d x lim u u a f x d x displaystyle int infty a f x dx lim u to infty int u a f x dx 当上述极限存在时 称該积分收敛 当上述极限不存在时 称该积分发散 例子如下 1 1 x 2 d x lim u 1 u 1 x 2 d x 1 displaystyle int 1 infty frac 1 x 2 dx lim u to infty int 1 u frac 1 x 2 dx 1 1 1 x d x lim u 1 u 1 x d x displaystyle int 1 infty frac 1 x dx lim u to infty int 1 u frac 1 x dx infty 即發散 1 x sin x d x lim u 1 u x sin x d x displaystyle int 1 infty x sin x dx lim u to infty int 1 u x sin x dx 振動發散 推廣定義 编辑 第一類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為無窮 的積分 设函数 f x 在 上連續且可積 定義無窮積分 f x d x lim u lim v u v f x d x displaystyle int infty infty f x dx lim u to infty lim v to infty int u v f x dx 或者取區間上任意一點 c 分拆寫成 f x d x lim u u c f x d x lim v c v f x d x displaystyle int infty infty f x dx lim u to infty int u c f x dx lim v to infty int c v f x dx 當上述極限同時存在時 稱該積分收斂 當上述極限至少有一個不存在時 稱該積分發散 例子如下 x e x 2 d x lim u u 0 x e x 2 d x lim v 0 v x e x 2 d x 1 2 1 2 0 displaystyle int infty infty xe x 2 dx lim u to infty int u 0 xe x 2 dx lim v to infty int 0 v xe x 2 dx frac 1 2 frac 1 2 0 x d x lim u u 0 x d x lim v 0 v x d x displaystyle int infty infty x dx lim u to infty int u 0 x dx lim v to infty int 0 v x dx infty infty 即發散 與柯西主值的聯繫 编辑 在無窮積分的推廣定義中 兩個極限須分別處理 即兩者的收斂速度可能不同 在柯西主值的理解下 可假設兩個極限的收斂速度相同 设函数 f x 在 上連續且可積 定義無窮積分的柯西主值 P V f x d x lim R R R f x d x displaystyle mathrm PV int infty infty f x dx lim R to infty int R R f x dx 若在相同收斂速度下 兩者可以互相抵消 則該積分的柯西主值存在 舉例來說 P V x d x lim R R R x d x 0 displaystyle mathrm PV int infty infty x dx lim R to infty int R R x dx 0 根據定義 若無窮積分收斂 則其柯西主值收斂 且二者相等 但無窮積分的柯西主值收斂 該積分未必收斂 第二類反常積分 编辑 第二類反常積分 被積函數的區間中含有不連續點 定義 编辑 第二類反常積分是瑕積分 指積分區間的上限或下限是被積函數的不連續點 數學定義如下 設函數 f x 在 a b 上連續且可積 但在點 a 不連續 定義瑕積分 a b f x d x lim u a u b f x d x displaystyle int a b f x dx lim u to a int u b f x dx 類似的 設函數 f x 在 a b 上連續且可積 但在點 b 不連續 定義瑕積分 a b f x d x lim u b a u f x d x displaystyle int a b f x dx lim u to b int a u f x dx 當上述極限存在時 稱該積分收斂 當上述極限不存在時 稱該積分發散 例子如下 0 3 1 3 x d x lim u 3 0 u 1 3 x d x 2 3 displaystyle int 0 3 frac 1 sqrt 3 x dx lim u to 3 int 0 u frac 1 sqrt 3 x dx 2 sqrt 3 0 1 1 x 2 d x lim u 0 u 1 1 x 2 d x displaystyle int 0 1 frac 1 x 2 dx lim u to 0 int u 1 frac 1 x 2 dx infty 即發散 推廣定義 编辑 第二類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為不連續點 或上限及下限之間含有不連續點的積分 設函數 f x 在 a b 上連續且可積 但在點 a 及 b 不連續 定義瑕積分 a b f x d x lim u a lim v b u v f x d x displaystyle int a b f x dx lim u to a lim v to b int u v f x dx 或者取區間上任意一點 c 分拆寫成 a b f x d x lim u a u c f x d x lim v b c v f x d x displaystyle int a b f x dx lim u to a int u c f x dx lim v to b int c v f x dx 設函數 f x 在 a c 及 c b 上連續且可積 但在點 c 不連續 定義瑕積分 a b f x d x lim u c a u f x d x lim v c v b f x d x displaystyle int a b f x dx lim u to c int a u f x dx lim v to c int v b f x dx 當上述極限同時存在時 稱該積分收斂 當上述極限至少有一個不存在時 稱該積分發散 例子如下 1 1 1 x 2 3 d x lim u 0 1 u 1 x 2 3 d x lim v 0 v 1 1 x 2 3 d x 6 displaystyle int 1 1 frac 1 sqrt 3 x 2 dx lim u to 0 int 1 u frac 1 sqrt 3 x 2 dx lim v to 0 int v 1 frac 1 sqrt 3 x 2 dx 6 1 1 1 x d x lim u 0 1 u 1 x d x lim v 0 v 1 1 x d x displaystyle int 1 1 frac 1 x dx lim u to 0 int 1 u frac 1 x dx lim v to 0 int v 1 frac 1 x dx infty infty 即發散 與柯西主值的聯繫 编辑 在瑕積分的推廣定義中 兩個極限須分別處理 即兩者的收斂速度可能不同 在柯西主值的理解下 可假設兩個極限的收斂速度相同 設函數 f x 在 a b 上連續且可積 但在點 a 及 b 不連續 定義瑕積分的柯西主值 P V a b f x d x lim e 0 a e b e f x d x displaystyle mathrm PV int a b f x dx lim varepsilon to 0 int a varepsilon b varepsilon f x dx 設函數 f x 在 a c 及 c b 上連續且可積 但在點 c 不連續 定義瑕積分的柯西主值 P V a b f x d x lim e 0 a c e f x d x c e b f x d x displaystyle mathrm PV int a b f x dx lim varepsilon to 0 left int a c varepsilon f x dx int c varepsilon b f x dx right 若在相同收斂速度下 兩者可以互相抵消 則該積分的柯西主值存在 舉例來說 P V 1 1 1 x d x lim e 0 1 e 1 e 1 x d x 0 displaystyle mathrm PV int 1 1 frac 1 x dx lim varepsilon to 0 int 1 varepsilon 1 varepsilon frac 1 x dx 0 根據定義 若瑕積分收斂 則其柯西主值收斂 且二者相等 但瑕積分的柯西主值收斂 該積分未必收斂 参考文献 编辑歐陽光中 朱學炎 陳傳璋 2007 數學分析 下冊 第三版 高等教育出版社 ISBN 978 7 04 020743 9 Weisstein Eric W Improper Integral From MathWorld A Wolfram Web Resource http mathworld wolfram com ImproperIntegral html 页面存档备份 存于互联网档案馆 Weisstein Eric W Cauchy Principal Value From MathWorld A Wolfram Web Resource http mathworld wolfram com CauchyPrincipalValue html 页面存档备份 存于互联网档案馆 参见 编辑积分 極限 柯西主值 取自 https zh wikipedia org w index php title 反常積分 amp oldid 70980532, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,