常替代弹性

常替代弹性（英語：constant elasticity of substitution，缩写为CES）是经济学中对生产函数或效用函数的一种假设，即两种（或多种）生产要素或消费品之间的替代弹性为常数。

CES生产函数

CES生产函数由美国经济学家罗伯特·索洛提出：^[1]

${\displaystyle Q=F\cdot \left(a\cdot K^{r}+(1-a)\cdot L^{r}\right)^{\frac {1}{r}}}$ 

其中

• ${\displaystyle Q}$ 表示产量
• ${\displaystyle F}$ 表示要素生产率
• ${\displaystyle a}$ 表示比例参数
• ${\displaystyle K}$ 、${\displaystyle L}$ 表示生产要素（资本与劳力）的投入量
• ${\displaystyle s={\frac {1}{(1-r)}}}$ 表示替代弹性

当${\displaystyle r=1}$ 时为完全替代生产函数，${\displaystyle r}$ 趋向于0时为柯布-道格拉斯生产函数，${\displaystyle r}$ 趋向于负无穷大时则为里昂惕夫生产函数（英语：Leontief production function）（完全互补生产函数）。

如考虑${\displaystyle n}$ 种生产要素，则有^[2]

${\displaystyle Q=F\cdot \left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}^{r}\ \right]^{\frac {1}{r}}}$ 

其中比例参数${\displaystyle a_{i}}$ 满足${\displaystyle \sum _{i}^{n}a_{i}=1}$ ，${\displaystyle X_{i}}$ 为第${\displaystyle i}$ 种生产要素的投入量（${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$ ）。

CES效用函数

在消费者理论中，假设有${\displaystyle n}$ 种消费品${\displaystyle x_{i}}$ ，基于CES假设的总消费${\displaystyle X}$ 可表示为

${\displaystyle X=\left[\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\frac {1}{s}}x_{i}^{\frac {s-1}{s}}\ \right]^{\frac {s}{s-1}}.}$ 

与上述CES生产函数相同，式中${\displaystyle a_{i}}$ 为比例参数，${\displaystyle s}$ 为替代弹性。当${\displaystyle s}$ 趋向于无穷大时消费品之间为完全替代品，${\displaystyle s}$ 趋向于0时则为完全互补品。

参考文献

1. Solow, R.M. A contribution to the theory of economic growth. The Quarterly Journal of Economics. 1956, 70 (1): 65–94. JSTOR 1884513. doi:10.2307/1884513. 
2. (PDF). [2019-02-20]. （原始内容 (PDF)存档于2022-01-01）.