带宽 (图论)

图论中，图带宽问题是用不同整数${\displaystyle f(v_{i})}$给图G的n个顶点${\displaystyle v_{i}}$贴上标签，使得量${\displaystyle \max\{\,|f(v_{i})-f(v_{j})|:v_{i}v_{j}\in E\,\}}$最小化的问题（其中E是G的边集）。^[1] 这问题可以形象理解为，将图的顶点置于沿x轴的不同整数点上，使最长边最短的问题。这种放置称作线性图排列（linear graph arrangement）、线性图布局（linear graph layout）或线性图放置（linear graph placement）。^[2]

加权图带宽问题是广义化，其中边被赋权${\displaystyle w_{ij}}$，需要最小化的损失函数为${\displaystyle \max\{\,w_{ij}|f(v_{i})-f(v_{j})|:v_{i}v_{j}\in E\,\}.}$

就矩阵而言，（无权）图带宽是对称矩阵（图的邻接矩阵）的最小带宽。带宽也可定义为比给定图的紧合区间超图的最大团大小小1，其中超图最小化了团大小。（Kaplan & Shamir 1996）

某些图的带宽公式

对部分图族，带宽${\displaystyle \varphi (G)}$ 有明确公式给出。

n顶点上的路径图${\displaystyle P_{n}}$ 的带宽是1，对于完全图${\displaystyle K_{m}}$ 我们有${\displaystyle \varphi (K_{n})=n-1}$ 。对完全二分图${\displaystyle K_{m,\ n}}$ ，有

${\displaystyle \varphi (K_{m,n})=\lfloor (m-1)/2\rfloor +n}$ ，其中${\displaystyle m\geq n\geq 1,}$ 

由Chvátal证明。^[3]星图${\displaystyle S_{k}=K_{k,1}}$ 是此公式的特例，${\displaystyle k+1}$ 个顶点上的星图带宽为${\displaystyle \varphi (S_{k})=\lfloor (k-1)/2\rfloor +1}$ 。

${\displaystyle 2^{n}}$ 个顶点上的超立方图${\displaystyle Q_{n}}$ 的带宽，Harper (1966)确定为

${\displaystyle \varphi (Q_{n})=\sum _{m=0}^{n-1}{\binom {m}{\lfloor m/2\rfloor }}.}$ 

Chvatálová证明^[4]，${\displaystyle m\times n}$ 方格图${\displaystyle P_{m}\times P_{n}}$ （m、n个顶点上两个路径图之笛卡尔积）的带宽等于${\displaystyle {\rm {min}}\{m,\ n\}}$ 。

界

图的带宽可用各种图参数约束。例如，令${\displaystyle \chi (G)}$ 表示G的色数：

${\displaystyle \varphi (G)\geq \chi (G)-1;}$ 

令${\displaystyle {\rm {diam}}(G)}$ 表示G的直径，则有不等式：^[5]

${\displaystyle \lceil (n-1)/\operatorname {diam} (G)\rceil \leq \varphi (G)\leq n-\operatorname {diam} (G),}$ 

其中n是G中顶点数。

k带宽图G的径宽不大于k（Kaplan & Shamir 1996），其树深不大于${\displaystyle k\log(n/k)}$ （Gruber 2012）。如上节所述，星图${\displaystyle S_{k}}$ 作为结构非常简单的树，带宽相对较大。注意${\displaystyle S_{k}}$ 的径宽为1，树深为2。

一些度有界图族具有亚线性带宽：Chung (1988)证明，若T是最大度不大于∆的树，则

${\displaystyle \varphi (T)\leq {\frac {5n}{\log _{\Delta }n}}.}$ 

更一般地说，对最大度不大于∆的平面图，类似约束也成立（参Böttcher et al. 2010）：

${\displaystyle \varphi (G)\leq {\frac {20n}{\log _{\Delta }n}}.}$ 

计算带宽

加与不加权的两类带宽计算问题都是二次瓶颈分配问题的特例。 带宽问题是NP困难的，即便对特例也如此。^[6]众所周知，带宽在任何常数范围内的近似都是NP难的，对最大毛长为2的毛虫树也如此（Dubey，Feige & Unger 2010）。 对稠密图，Karpinski，Wirtgen & Zelikovsky (1997)设计了一种3近似算法。 另一方面，我们也知道一些多项式可解的特例。^[2]Cuthill–McKee算法就是获得低带宽线图布局的启发式算法。图带宽计算的快速多层算法是在^[7]中提出的。

应用

对带宽问题的兴趣来自一些应用领域。

例如稀疏矩阵/带状矩阵处理与此领域的一般算法，如Cuthill–McKee算法，可用于寻找图带宽问题的近似解。

还有电子设计自动化。标准单元设计方法中，标准单元一般具有相同的高度，布局为若干行。这时，图带宽问题建模了将一组标准单元放置在单行中的问题，其目标是使最大传播延迟（假定与导线长度成正比）最小化。

另见

• 割宽与径宽

参考文献

1. （Chinn 等人 1982）
2. "Coping with the NP-Hardness of the Graph Bandwidth Problem", Uriel Feige, Lecture Notes in Computer Science, Volume 1851, 2000, pp. 129-145, doi:10.1007/3-540-44985-X_2
3. A remark on a problem of Harary. V. Chvátal, Czechoslovak Mathematical Journal 20(1):109–111, 1970. http://dml.cz/dmlcz/100949
4. Optimal Labelling of a product of two paths. J. Chvatálová, Discrete Mathematics 11, 249–253, 1975.
5. Chinn et al. 1982
6. Garey–Johnson: GT40
7. Ilya Safro and Dorit Ron and Achi Brandt. Multilevel Algorithms for Linear Ordering Problems. ACM Journal of Experimental Algorithmics. 2008, 13: 1.4–1.20. doi:10.1145/1412228.1412232. 

• Böttcher, J.; Pruessmann, K. P.; Taraz, A.; Würfl, A. Bandwidth, expansion, treewidth, separators and universality for bounded-degree graphs. European Journal of Combinatorics. 2010, 31 (5): 1217–1227. arXiv:0910.3014  . doi:10.1016/j.ejc.2009.10.010. 
• Chinn, P. Z.; Chvátalová, J.; Dewdney, A. K.; Gibbs, N. E. The bandwidth problem for graphs and matrices—a survey. Journal of Graph Theory. 1982, 6 (3): 223–254. doi:10.1002/jgt.3190060302. 
• Chung, Fan R. K., Labelings of Graphs, Beineke, Lowell W.; Wilson, Robin J. (编), Selected Topics in Graph Theory (PDF), Academic Press: 151–168, 1988, ISBN 978-0-12-086203-0 
• Dubey, C.; Feige, U.; Unger, W. Hardness results for approximating the bandwidth. Journal of Computer and System Sciences. 2010, 77: 62–90. doi:10.1016/j.jcss.2010.06.006  . 
• Garey, M.R.; Johnson, D.S. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. New York: W.H. Freeman. 1979. ISBN 0-7167-1045-5. 
• Gruber, Hermann, On Balanced Separators, Treewidth, and Cycle Rank, Journal of Combinatorics, 2012, 3 (4): 669–682, arXiv:1012.1344  , doi:10.4310/joc.2012.v3.n4.a5 
• Harper, L. Optimal numberings and isoperimetric problems on graphs. Journal of Combinatorial Theory. 1966, 1 (3): 385–393. doi:10.1016/S0021-9800(66)80059-5  . 
• Kaplan, Haim; Shamir, Ron, Pathwidth, bandwidth, and completion problems to proper interval graphs with small cliques, SIAM Journal on Computing, 1996, 25 (3): 540–561, doi:10.1137/s0097539793258143 
• Karpinski, Marek; Wirtgen, Jürgen; Zelikovsky, Aleksandr. An Approximation Algorithm for the Bandwidth Problem on Dense Graphs. Electronic Colloquium on Computational Complexity. 1997, 4 (17). 

外部链接

• Minimum bandwidth problem, in: Pierluigi Crescenzi and Viggo Kann (eds.), A compendium of NP optimization problems. Accessed May 26, 2010.