布罗卡点

布罗卡点是三角形内的特殊点。

三角形的布罗卡点，位于三个圆的交点

定义

在边长为a、b和c的三角形ABC中，只存在一个点P，使得线段AP、BP和CP分别与c、a和b形成相同的角ω，也就是说，${\displaystyle \angle PAB=\angle PBC=\angle PCA}$ 。点P称为三角形ABC的第一布罗卡点，而角ω则称为三角形的布罗卡角。以下的等式是成立的：

${\displaystyle \cot \omega =\cot \alpha +\cot \beta +\cot \gamma .\,}$ 

在三角形ABC中还有第二布罗卡点Q，使得线段AQ、BQ和CQ分别与b、c和a形成相同的角。也就是说，${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}$ 。第二布罗卡点与第一布罗卡点具有相同的布罗卡角。也就是说，${\displaystyle \angle PBC=\angle PCA=\angle PAB}$ 与${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}$ 是相等的。

三角形的两个布罗卡点是密切相关的。实际上，三角形ABC的第一布罗卡点就是三角形ACB的第二布罗卡点。

作图

作一个通过A和B的圆，与三角形的BC边相切。圆心位于AB的垂直平分线与过点B且与BC垂直的直线的交点。类似地，也作一个通过B和C且与AC相切的圆，以及一个通过A和C且与AB相切的圆。则三个圆相交于同一点，这个点就是三角形ABC的第一布罗卡点。

类似地，也可以作出ABC的第二布罗卡点。

参考文献

• Ross Honsberger, "The Brocard Points," Chapter 10 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, The Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1995.