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布朗运动

布朗运动(英語:Brownian motion)是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为:布朗运动W(t)是期望为0、方差为t(时间)的正态随机变量。对于任意的r小于等于s,W(t)-W(s)独立于的W(r),且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程鞅过程伊藤过程

模擬的大顆粒塵埃粒子碰撞到更小的粒子,而其以不同的速度在不同方向移動的布朗運動
粒子的立體空間進行布朗運動的示意圖。

它是在西元1827年[1]英國植物學家罗伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時,發現微粒會呈現不規則狀的運動,因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子的大小,因為就是由中的水分子對微粒的碰撞產生的,而不規則的碰撞越明顯,就是原子愈小,因此根據布朗運動,定義原子的直徑為10-8厘米。

定義

自1860年以來,許多科學家都在研究此種現象,後來發現布朗運動有下列的主要特性:[2]

  1. 粒子的運動由平移轉移所構成,顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。
  2. 粒子之移動顯然互不相關,甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。
  3. 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時,粒子的運動越活潑。
  4. 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。
  5. 粒子的運動永不停止。

對於布朗運動之誤解

值得注意的是,布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动,而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。

一般而言,花粉之直徑分布於30~50μm、最小亦有10μm之譜,相較之下,水分子直徑約0.3nm(非球形,故依部位而有些許差異。),略為花粉的十萬分之一。因此,花粉難以產生不規則振動,事實上花粉幾乎不受布朗運動之影響。在罗伯特·布朗的手稿中,「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味著「自花粉粒中迸出之微粒子」,而非指花粉本身。然而在翻譯為諸國語言時,時常受到誤解,以為是「水中的花粉受布朗運動而呈現不規則運動」。積非成是之下,在大眾一般觀念中,此誤會已然根深蒂固。

 
花粉具備足夠大小,幾乎無法觀測到布朗運動。

日本,以鶴田憲次『物理学叢話』為濫觴,岩波書店『岩波理科辞典』[3]、花輪重雄『物理学読本』、湯川秀樹『素粒子』、坂田昌一『物理学原論(上)』、平凡社『理科辞典』、福岡伸一著『生物與無生物之間』,甚至日本的理科課本等等,皆呈現錯誤之敘述。

直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著書『植物之SEX‐不為人知的性之世界』中,點出此誤謬之前,鮮少有人注意。国立教育研究所物理研究室長板倉聖宣在參與製作岩波電影『迴動粒子』(1970年)時,實際攝影漂浮在水中之花粉,卻發現花粉完全沒有布朗運動。遂於1975年3月,以「外行人與專家之間」為題,解說有關布朗運動之誤會。

愛因斯坦的理論

在1905年,爱因斯坦提出了相关理论。他的理論有兩個部分:第一部分定義布朗粒子擴散方程式,其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關,而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式,愛因斯坦的理論可決定原子的大小,一莫耳有多少原子,或氣體的克分子量。根據阿伏伽德罗定律,所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升,其中包含的原子的數目被稱為「阿伏伽德罗常数」。由氣體的莫耳質量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。

爱因斯坦论证的第一部分是,确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。[4][來源請求] 经典力学无法确定这个距离,因为布朗粒子将会受到大量的撞击,每秒大约发生 1014 次撞击。[5] 因此,爱因斯坦将之简化,即讨论一个布朗粒子团的运动[來源請求]

他把粒子在一个的空间中,把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值(  或者 x,并对其坐标进行变换,让原点成为粒子运动的初始位置)并给出概率密度函数  。另外,他假设粒子的数量有限,并扩大了密度(单位体积内粒子数量),展开成泰勒级数 。

 

第一行中的第二个等式是被   这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数,第二项和其他偶数项(即第一项和其他奇数项)由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系:

 

拉普拉斯算子之前的系数,是下一刻的随机位移量  ,让 D 为质量扩散系数:

 

那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程:

 

假設在初始時刻t = 0時,所有的粒子從原點開始運動,擴散方程的解

 

数学模型

定义

满足下列条件的我们称之为布朗运动

  1. 这个鞅是关于时间连续的。
  2. 他的平方减去时间项也是一个鞅。

 是一个布朗运动当且仅当 为鞅,且 也为鞅.

其他定义

 
3000步的2维布朗运动的模拟。
1000步的3维布朗运动模拟。

一维的定义

一维布朗运动 是关于时间t的一个随机过程,他满足 :

  1. (独立增量)设时间ts满足t > s,增量 独立于时间s前的过程 
  2. (稳定增量和正态性)设时间ts满足t > s,增量 服从均值为0方差为ts的正态分布。
  3.  几乎处处连续, 也就是说在任何可能性下, 函数 是连续的.
  4. 通常假设 。这种布朗运动我们称它为标准的。

等价定义

一维布朗运动 是关于时间t的一个随机过程,他满足 :

  1.  是一个高斯过程,也就是说对于所有的时间列: ,随机向量: 服从高维高斯分布(正态分布)。
  2.  几乎处处连续。
  3. 对于所有st,均值 协方差 .

高维定义

 d维布朗运动,只需满足 为独立的布朗运动。

换句话说,d维布朗运动 取值于 ,而它在 空间上的投影均为布朗运动。

Wiener测度的定义

 为从  的连续函数空间, 为概率空间。布朗运动为映射

 
           .

Wiener测度 (或称为布朗运动的分布)设为 ,是映射B关于 的图测度。

换句话说, W 上的一个概率测度,满足对于任何 ,有

 

备忘

  • 布朗运动是一种增量服从正态分布的萊維過程
  • 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性,比如几乎处处连续,轨迹几乎处处不可微等等。
  • 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来, 即: 轨迹连续且二次变差为 的随机过程为布朗运动。

性质

  • 布朗运动的轨道几乎处处不可微:对于任何 ,轨道 为一个连续但是零可微的函数。
  • 协方差 
  • 布朗运动具有强马氏性: 对于停时T,取条件 ,过程 为一个独立于 的布朗运动。
  • 它的Fourier变换特征函数 。可见,布朗运动是一个无偏,无跳跃,二项系数为1/2的Levy过程。
  • 布朗运动关于时间是齐次的: 对于s > 0,  是一个独立于 的布朗运动。
  • -B是一个布朗运动。
  • (稳定性) 对于c > 0,  是布朗运动。
  • (时间可逆性) t=0之外是布朗运动。
  • (常返性)只有1维和2维布朗运动是常返的:
      如果 ,集合 不是有界的,对于任何 
      如果 (几乎处处)。
  • (反射原理)
 

布朗运动的数学构造

利用Kolmogorov一致性定理

  空间中一列实值函数。设:

 

这列函数满足:

 ,任意的 ,矩阵 为对称半正定的。

利用Kolmogorov一致性定理,我们可以构造高斯过程 ,它的均值 任意, 协方差为上面定义的 

  为不依赖于t的常数,  上的示性函数。则:

 

在这个情况下,矩阵 是对称且正定的。

我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0,协方差为s。 ,当 时, 称之为 标准的布朗运动.

利用随机过程

Donsker定理(1951)证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。

 

其中(Un, n ≥ 1) 独立同分布, 均值为0,方差为σ的随机变量序列。

利用傅立叶级数

设2列独立的正态 随机变量序列  。定义 

 

为布朗运动。

参见

腳註

  1. ^ 部分紀錄為1828年。
  2. ^ 李育嘉. 漫談布朗運動. [2012-12-14]. (原始内容于2019-07-18). 
  3. ^ 該辭典已於1987年所發行之第四版中修正。
  4. ^ BROWNIAN MOTION. : 5. 
  5. ^ Feynman, R. The Brownian Movement. The Feynman Lectures of Physics, Volume I. 1964: 41-1 [2018-02-05]. (原始内容于2021-02-14). 

外部連結

布朗运动, 此條目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑, 2015年12月14日, 請邀請適合的人士改善本条目, 更多的細節與詳情請參见討論頁, 此條目介紹的是, 关于随机的过程, 请见, 维纳过程, 关于热力学的角度的定义, 请见, 热力学温度, 关于内部能量, 请见, 能量均分定理, 关于数学模型, 请见, 随机游走, 英語, brownian, motion, 是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动, 过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程, 它是随机分析中基本概念之一, 其基本性质为, 是期望为0. 此條目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑 2015年12月14日 請邀請適合的人士改善本条目 更多的細節與詳情請參见討論頁 此條目介紹的是布朗运动 关于随机的过程 请见 维纳过程 关于热力学的角度的定义 请见 热力学温度 关于内部能量 请见 能量均分定理 关于数学模型 请见 随机游走 布朗运动 英語 Brownian motion 是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动 布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程 它是随机分析中基本概念之一 其基本性质为 布朗运动W t 是期望为0 方差为t 时间 的正态随机变量 对于任意的r小于等于s W t W s 独立于的W r 且是期望为0 方差为t s的正态随机变量 可以证明布朗运动是马尔可夫过程 鞅过程和伊藤过程 模擬的大顆粒塵埃粒子碰撞到更小的粒子 而其以不同的速度在不同方向移動的布朗運動 粒子的立體空間進行布朗運動的示意圖 它是在西元1827年 1 英國植物學家罗伯特 布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時 發現微粒會呈現不規則狀的運動 因而稱它布朗運動 布朗運動也能測量原子的大小 因為就是由水中的水分子對微粒的碰撞產生的 而不規則的碰撞越明顯 就是原子愈小 因此根據布朗運動 定義原子的直徑為10 8厘米 目录 1 定義 2 對於布朗運動之誤解 3 愛因斯坦的理論 4 数学模型 4 1 定义 4 2 其他定义 4 3 性质 4 4 布朗运动的数学构造 4 4 1 利用Kolmogorov一致性定理 4 4 2 利用随机过程 4 4 3 利用傅立叶级数 5 参见 6 腳註 7 外部連結定義 编辑自1860年以來 許多科學家都在研究此種現象 後來發現布朗運動有下列的主要特性 2 粒子的運動由平移及轉移所構成 顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線 粒子之移動顯然互不相關 甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時 粒子的運動越活潑 粒子的成分及密度對其運動沒有影響 粒子的運動永不停止 對於布朗運動之誤解 编辑值得注意的是 布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动 而不是分子的随机运动 但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动 一般而言 花粉之直徑分布於30 50mm 最小亦有10mm之譜 相較之下 水分子直徑約0 3nm 非球形 故依部位而有些許差異 略為花粉的十萬分之一 因此 花粉難以產生不規則振動 事實上花粉幾乎不受布朗運動之影響 在罗伯特 布朗的手稿中 tiny particles from the pollen grains of flowers 意味著 自花粉粒中迸出之微粒子 而非指花粉本身 然而在翻譯為諸國語言時 時常受到誤解 以為是 水中的花粉受布朗運動而呈現不規則運動 積非成是之下 在大眾一般觀念中 此誤會已然根深蒂固 花粉具備足夠大小 幾乎無法觀測到布朗運動 在日本 以鶴田憲次 物理学叢話 為濫觴 岩波書店 岩波理科辞典 3 花輪重雄 物理学読本 湯川秀樹 素粒子 坂田昌一 物理学原論 上 平凡社 理科辞典 福岡伸一著 生物與無生物之間 甚至日本的理科課本等等 皆呈現錯誤之敘述 直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著書 植物之SEX 不為人知的性之世界 中 點出此誤謬之前 鮮少有人注意 国立教育研究所物理研究室長板倉聖宣在參與製作岩波電影 迴動粒子 1970年 時 實際攝影漂浮在水中之花粉 卻發現花粉完全沒有布朗運動 遂於1975年3月 以 外行人與專家之間 為題 解說有關布朗運動之誤會 愛因斯坦的理論 编辑在1905年 爱因斯坦提出了相关理论 他的理論有兩個部分 第一部分定義布朗粒子擴散方程式 其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關 而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量 以此方式 愛因斯坦的理論可決定原子的大小 一莫耳有多少原子 或氣體的克分子量 根據阿伏伽德罗定律 所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22 414升 其中包含的原子的數目被稱為 阿伏伽德罗常数 由氣體的莫耳質量除以阿伏伽德罗常数等同原子量 爱因斯坦论证的第一部分是 确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离 4 來源請求 经典力学无法确定这个距离 因为布朗粒子将会受到大量的撞击 每秒大约发生 1014 次撞击 5 因此 爱因斯坦将之简化 即讨论一个布朗粒子团的运动 來源請求 他把粒子在一个的空间中 把布朗粒子在一维方向上的运动增量 x 视作一个随机值 D displaystyle Delta 或者 x 并对其坐标进行变换 让原点成为粒子运动的初始位置 并给出概率密度函数 f D displaystyle varphi Delta 另外 他假设粒子的数量有限 并扩大了密度 单位体积内粒子数量 展开成泰勒级数 r x t t r x t r x t t r x D t f D d D r x t f D d D r x D f D d D 2 r x 2 D 2 2 f D d D r x t 1 0 2 r x 2 D 2 2 f D d D displaystyle begin aligned rho x t tau frac partial rho x partial t cdots rho x t tau amp int infty infty rho x Delta t cdot varphi Delta mathrm d Delta amp rho x t cdot int infty infty varphi Delta d Delta frac partial rho partial x cdot int infty infty Delta cdot varphi Delta mathrm d Delta amp frac partial 2 rho partial x 2 cdot int infty infty frac Delta 2 2 cdot varphi Delta mathrm d Delta cdots amp rho x t cdot 1 0 frac partial 2 rho partial x 2 cdot int infty infty frac Delta 2 2 cdot varphi Delta mathrm d Delta cdots end aligned 第一行中的第二个等式是被 f displaystyle varphi 这个函数定义的 第一项中的积分等于一个由概率定义函数 第二项和其他偶数项 即第一项和其他奇数项 由于空间对称性而消失 化简可以得到以下关系关系 r t 2 r x 2 D 2 2 t f D d D 更 高 阶 的 项 displaystyle frac partial rho partial t frac partial 2 rho partial x 2 cdot int infty infty frac Delta 2 2 tau cdot varphi Delta mathrm d Delta text 更 高 阶 的 项 拉普拉斯算子之前的系数 是下一刻的随机位移量 D displaystyle Delta 让 D 为质量扩散系数 D D 2 2 t f D d D displaystyle D int infty infty frac Delta 2 2 tau cdot varphi Delta mathrm d Delta 那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 r 满足扩散方程 r t D 2 r x 2 displaystyle frac partial rho partial t D cdot frac partial 2 rho partial x 2 假設在初始時刻t 0時 所有的粒子從原點開始運動 擴散方程的解 r x t r 0 4 p D t e x 2 4 D t displaystyle rho x t frac rho 0 sqrt 4 pi Dt e frac x 2 4Dt 数学模型 编辑定义 编辑 满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动 这个鞅是关于时间连续的 他的平方减去时间项也是一个鞅 M t displaystyle M t 是一个布朗运动当且仅当 M t displaystyle M t 为鞅 且 M t 2 t displaystyle M t 2 t 也为鞅 其他定义 编辑 3000步的2维布朗运动的模拟 source source source source source source source source source source 1000步的3维布朗运动模拟 一维的定义一维布朗运动 B t t 0 displaystyle scriptstyle B t t geq 0 是关于时间t的一个随机过程 他满足 独立增量 设时间t和s满足t gt s 增量B t B s displaystyle scriptstyle B t B s 独立于时间s前的过程 B u 0 u s displaystyle scriptstyle B u 0 leq u leq s 稳定增量和正态性 设时间t和s满足t gt s 增量B t B s displaystyle scriptstyle B t B s 服从均值为0方差为t s的正态分布 B t t 0 displaystyle scriptstyle B t t geq 0 几乎处处连续 也就是说在任何可能性下 函数t B t w displaystyle scriptstyle t mapsto B t omega 是连续的 通常假设B 0 0 displaystyle scriptstyle B 0 0 这种布朗运动我们称它为标准的 等价定义一维布朗运动 B t t 0 displaystyle scriptstyle B t t geq 0 是关于时间t的一个随机过程 他满足 B t t 0 displaystyle scriptstyle B t t geq 0 是一个高斯过程 也就是说对于所有的时间列 t 1 t 2 t n displaystyle scriptstyle t 1 leq t 2 leq leq t n 随机向量 B t 1 B t 2 B t n displaystyle scriptstyle B t 1 B t 2 B t n 服从高维高斯分布 正态分布 B t t 0 displaystyle scriptstyle B t t geq 0 几乎处处连续 对于所有s和t 均值E B t 0 displaystyle scriptstyle mathbb E B t 0 协方差E B s B t m i n s t displaystyle scriptstyle E B s B t min s t 高维定义 B t t 0 B t 1 B t 2 B t d t 0 displaystyle scriptstyle B t t geq 0 left B t 1 B t 2 B t d right t geq 0 是d维布朗运动 只需满足B 1 B 2 B d displaystyle scriptstyle B 1 B 2 B d 为独立的布朗运动 换句话说 d维布朗运动 取值于R d displaystyle scriptstyle mathbb R d 而它在R R 2 R d 1 displaystyle scriptstyle mathbb R mathbb R 2 mathbb R d 1 空间上的投影均为布朗运动 Wiener测度的定义设C R R displaystyle scriptstyle mathcal C mathbb R mathbb R 为从R displaystyle scriptstyle mathbb R 到R displaystyle scriptstyle mathbb R 的连续函数空间 W T P displaystyle scriptstyle Omega mathcal T mathbb P 为概率空间 布朗运动为映射 B W C R R displaystyle B Omega longrightarrow C mathbb R mathbb R w t B t w displaystyle omega mapsto left t mapsto B t omega right Wiener测度 或称为布朗运动的分布 设为W d w displaystyle scriptstyle W d omega 是映射B关于P d w displaystyle scriptstyle mathbb P d omega 的图测度 换句话说 W是C R R displaystyle scriptstyle mathcal C mathbb R mathbb R 上的一个概率测度 满足对于任何A C R R displaystyle scriptstyle A subset mathcal C mathbb R mathbb R 有 W A P B t t 0 A displaystyle W A mathbb P B t t geq 0 in A 备忘 布朗运动是一种增量服从正态分布的萊維過程 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性 比如几乎处处连续 轨迹几乎处处不可微等等 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动 这个定义由Levy定理演化而来 即 轨迹连续且二次变差为t displaystyle t 的随机过程为布朗运动 性质 编辑 布朗运动的轨道几乎处处不可微 对于任何w W displaystyle scriptstyle omega in Omega 轨道t B t w displaystyle scriptstyle t mapsto B t omega 为一个连续但是零可微的函数 协方差E B s B t m i n s t displaystyle scriptstyle mathbb E B s B t min s t 布朗运动具有强马氏性 对于停时T 取条件 T lt displaystyle scriptstyle T lt infty 过程 B t T t 0 B T t B T t 0 displaystyle scriptstyle B t T t geq 0 B T t B T t geq 0 为一个独立于 B s 0 s lt T displaystyle scriptstyle B s 0 leq s lt T 的布朗运动 它的Fourier变换或特征函数为E e i u B t e t u 2 2 displaystyle scriptstyle mathbb E left e iuB t right e frac tu 2 2 可见 布朗运动是一个无偏 无跳跃 二项系数为1 2的Levy过程 布朗运动关于时间是齐次的 对于s gt 0 B t s B s t 0 displaystyle scriptstyle B t s B s t geq 0 是一个独立于 B u 0 u s displaystyle scriptstyle B u 0 leq u leq s 的布朗运动 B是一个布朗运动 稳定性 对于c gt 0 c B t c 2 t 0 displaystyle scriptstyle left cB frac t c 2 right t geq 0 是布朗运动 时间可逆性 t B 1 t t gt 0 displaystyle scriptstyle left tB frac 1 t right t gt 0 在t 0之外是布朗运动 常返性 只有1维和2维布朗运动是常返的 如果d 1 2 displaystyle scriptstyle d in 1 2 集合 t 0 B t x displaystyle scriptstyle t geq 0 B t x 不是有界的 对于任何x R d displaystyle scriptstyle x in mathbb R d 如果d 3 lim t B t displaystyle scriptstyle d geq 3 lim t rightarrow infty B t infty 几乎处处 反射原理 P sup 0 s t B s a 2 P B t a P B t a displaystyle mathbb P sup 0 leq s leq t B s geq a 2 mathbb P B t geq a mathbb P B t geq a 布朗运动的数学构造 编辑 利用Kolmogorov一致性定理 编辑 设 f t t R displaystyle f t t in mathbb R 为L 2 R displaystyle L 2 mathbb R 空间中一列实值函数 设 u v R s u v f u f v L 2 R R f u x f v x d x displaystyle forall u v in mathbb R text s u v langle f u f v rangle L 2 mathbb R int mathbb R f u x f v x dx 这列函数满足 k N displaystyle forall k in mathbb N 任意的t 1 t k R displaystyle t 1 t k in mathbb R 矩阵 s t i t j 1 i j k displaystyle left s t i t j right 1 leq i j leq k 为对称半正定的 利用Kolmogorov一致性定理 我们可以构造高斯过程 Y t t R displaystyle Y t t in mathbb R 它的均值m displaystyle m 任意 协方差为上面定义的s displaystyle s 当 f t t R c 1 1 0 t t R displaystyle f t t in mathbb R left sqrt c 1 1 0 t right t in mathbb R c gt 0 displaystyle c gt 0 为不依赖于t的常数 1 1 0 t displaystyle 1 1 0 t 为 0 t displaystyle 0 t 上的示性函数 则 s u v c R 1 1 0 u s 1 1 0 v s d s c min u v displaystyle s u v c int limits mathbb R 1 1 0 u s 1 1 0 v s ds text c min u v 在这个情况下 矩阵 s t i t j 1 i j k displaystyle left s t i t j right 1 leq i j leq k 是对称且正定的 我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0 协方差为s c V a r B 1 displaystyle c Var B 1 当c 1 displaystyle c 1 时 称之为 标准的布朗运动 利用随机过程 编辑 Donsker定理 1951 证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动 1 s n k 1 n t U k n t n t U n t 1 0 t 1 n B t 0 t 1 displaystyle left frac 1 sigma sqrt n left sum k 1 nt U k nt nt U nt 1 right right 0 leq t leq 1 underset n rightarrow infty Longrightarrow B t 0 leq t leq 1 其中 Un n 1 独立同分布 均值为0 方差为s的随机变量序列 利用傅立叶级数 编辑 设2列独立的正态N 0 1 displaystyle scriptstyle mathcal N 0 1 随机变量序列 N k k N displaystyle scriptstyle N k k in mathbb N 和 N k k N displaystyle scriptstyle N k k in mathbb N 定义 B t t 0 displaystyle scriptstyle B t t geq 0 B t t N 0 k 1 2 2 p k N k cos 2 p k t 1 N k sin 2 p k t displaystyle B t tN 0 sum k 1 infty frac sqrt 2 2 pi k left N k cos 2 pi kt 1 N k sin 2 pi kt right 为布朗运动 参见 编辑维纳过程腳註 编辑 部分紀錄為1828年 李育嘉 漫談布朗運動 2012 12 14 原始内容存档于2019 07 18 該辭典已於1987年所發行之第四版中修正 BROWNIAN MOTION 5 Feynman R The Brownian Movement The Feynman Lectures of Physics Volume I 1964 41 1 2018 02 05 原始内容存档于2021 02 14 外部連結 编辑漫談布朗運動 页面存档备份 存于互联网档案馆 Brownian motion an overview 取自 https zh wikipedia org w index php title 布朗运动 amp oldid 77464921, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,

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