Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. New York: Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-00451-3.
Revuz, Daniel; Yor, Marc. Continuous Martingales and Brownian Motion 2nd. New York: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-57622-3.
二月 15, 2023
布朗桥, 标准, 英語, brownian, bridge, 是概率论中常见的一个研究对象, 它是一种连续时间上的随机过程, 在0和1处取值为0, 2个相互独立的标准, 注意不要和布朗运动混淆, 有时又被称为绑在0和1处的布朗运动, 此处仅为意译, 非标准的, 只是在条件, displaystyle, scriptstyle, 下一般化的, 目录, 定义, 和其他随机过程的关系, 和布朗运动的关系, 扩散形式下的表达, 性质, 相关條目, 参考文献定义, 编辑标准的, displaystyle, scriptsty. 标准布朗桥 英語 Brownian bridge 是概率论中常见的一个研究对象 它是一种连续时间上的随机过程 在0和1处取值为0 2个相互独立的标准布朗桥 注意不要和布朗运动混淆 布朗桥有时又被称为绑在0和1处的布朗运动 此处仅为意译 非标准的 布朗桥 只是在条件 B t 1 a B t 2 b displaystyle scriptstyle B t 1 a B t 2 b 下一般化的布朗桥 目录 1 定义 2 和其他随机过程的关系 2 1 和布朗运动的关系 2 2 扩散形式下的表达 3 性质 4 相关條目 5 参考文献定义 编辑标准的布朗桥 B t t 0 displaystyle scriptstyle B t t geq 0 为一个连续时间上的 随机过程 它的分布为在条件B 0 B 1 0 displaystyle scriptstyle B 0 B 1 0 下的维纳过程 Wiener Process 它首先是一个高斯过程 也就是说随机向量 B t 1 B t n displaystyle scriptstyle B t 1 B t n 在条件 B 1 0 displaystyle scriptstyle B 1 0 下服从高斯分布 所以它可以由期望和协方差来刻画 0 t 1 E B t B 1 0 0 displaystyle forall 0 leq t leq 1 mathbb E B t B 1 0 0 0 s lt t 1 c o v B s B t B 1 0 s 1 t displaystyle forall 0 leq s lt t leq 1 cov B s B t B 1 0 s 1 t 定义的备注事件 B 1 0 displaystyle scriptstyle B 1 0 的概率为0 考虑满足 e gt 0 P B 1 lt e gt 0 displaystyle forall varepsilon gt 0 mathbb P B 1 lt varepsilon gt 0 的事件 B 1 lt e displaystyle scriptstyle B 1 lt varepsilon 我们可以考察条件分布 P B 1 lt e displaystyle scriptstyle mathbb P cdot B 1 lt varepsilon 由依分布收敛 可得 P B 1 lt e e 0 P B 1 0 displaystyle mathbb P cdot B 1 lt varepsilon underset varepsilon rightarrow 0 longrightarrow mathbb P cdot B 1 0 这给出了布朗桥的一个严格定义 和其他随机过程的关系 编辑和布朗运动的关系 编辑 性质1设 W t t 0 displaystyle scriptstyle W t t geq 0 为一个 维纳过程 或者 布朗运动 那么过程 B t 0 t 1 displaystyle scriptstyle B t 0 leq t leq 1 B t W t t W 1 displaystyle displaystyle B t W t tW 1 为一个标准的布朗桥 相互定义设 B t 0 t 1 displaystyle scriptstyle B t 0 leq t leq 1 为一个标准的布朗桥 Z 是一个正态随机变量 则过程 W t 1 t 0 displaystyle scriptstyle W t 1 t geq 0 et W t 2 t 0 displaystyle scriptstyle W t 2 t geq 0 W t 1 B t t Z displaystyle W t 1 B t tZ et W t 2 B t T t T Z displaystyle W t 2 B frac t T frac t T Z 为 t 0 1 displaystyle scriptstyle t in 0 1 和 t 0 T displaystyle scriptstyle t in 0 T 上的维纳过程 性质 2设 W t t 0 displaystyle scriptstyle W t t geq 0 为一个 维纳过程 则过程 B t 0 t 1 displaystyle scriptstyle B t 0 leq t leq 1 B t 1 t W t 1 t displaystyle B t 1 t W frac t 1 t 为一个标准布朗桥 相互定义设 B t 0 t 1 displaystyle scriptstyle B t 0 leq t leq 1 为一个标准的布朗桥 那么过程 W t t 0 displaystyle scriptstyle W t t geq 0 W t 1 t B t 1 t displaystyle W t 1 t B frac t 1 t 为一个维纳过程 扩散形式下的表达 编辑 也可以认为布朗桥是一种扩散过程 事实上 如果 W displaystyle W 是一种标准的布朗桥 随机方程 d X t d W t X t 1 t d t displaystyle dX t dW t frac X t 1 t dt 初始条件X 0 0 displaystyle X 0 0 的解和布朗桥同分布 事实上 X displaystyle X 是一个 马氏过程 这个从布朗桥的定义中不容易看出 性质 编辑设 B t 0 t 1 displaystyle scriptstyle B t 0 leq t leq 1 为标准的布朗桥 性质3设 b 为一个实数 P there is a t 0 1 s t B t b e 2 b 2 displaystyle mathbb P left hbox there is a t in 0 1 hbox s t B t b right e 2b 2 性质4设 b 为一个正实数 P sup t 0 1 B t b 2 n 1 1 n 1 e 2 n 2 b 2 displaystyle mathbb P left sup t in 0 1 B t geq b right 2 sum n geq 1 1 n 1 e 2n 2 b 2 性质 5设a et b 为2个正实数 P a lt B t lt b 0 t 1 m e 2 m 2 a b 2 e 2 m 1 a m b 2 displaystyle mathbb P left a lt B t lt b forall 0 leq t leq 1 right sum m infty infty left e 2m 2 a b 2 e 2 m 1 a mb 2 right 性质6设 x 为一个正实数 P sup t 0 1 B t inf t 0 1 B t x 2 m 1 4 m 2 x 2 1 e 2 m 2 x 2 displaystyle mathbb P left sup t in 0 1 B t inf t in 0 1 B t geq x right 2 sum m geq 1 4m 2 x 2 1 e 2m 2 x 2 相关條目 编辑布朗运动 维纳过程参考文献 编辑Glasserman Paul Monte Carlo Methods in Financial Engineering New York Springer Verlag 2004 ISBN 0 387 00451 3 Revuz Daniel Yor Marc Continuous Martingales and Brownian Motion 2nd New York Springer Verlag 1999 ISBN 3 540 57622 3 取自 https zh wikipedia org w index php title 布朗桥 amp oldid 65449845, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,