贝克隆德变换, 是两个非线性偏微分方程之间的一对变换关系, 两个非线性偏微分方程f, displaystyle, displaystyle, 之间的, 指的是这样一对关系ϕ, displaystyle, displaystyle, 是求非线性偏微分方程精确解的一种重要的变换, 1876年瑞典数学家贝克隆德发现正弦, 戈尔登方程的不同解u, displaystyle, displaystyle, 之间有如下关系, displaystyle, begin, aligned, beta, bigl, frac, bigr. 贝克隆德变换是两个非线性偏微分方程之间的一对变换关系 1 两个非线性偏微分方程F 1 u x t u x u t u x x u t t u x t u t t 0 displaystyle F 1 u x t u x u t u xx u tt u xt u tt 0 F 2 w 3 h w 3 w h w 3 w 3 3 w 3 h w h h 0 displaystyle F 2 w xi eta w xi w eta w xi w xi xi w xi eta w eta eta 0 之间的贝克隆德变换 指的是这样一对关系ϕ 1 u x t u x u t w 3 h w 3 w h 0 displaystyle phi 1 u x t u x u t w xi eta w xi w eta 0 ϕ 2 u x t u x u t w 3 h w 3 w h 0 displaystyle phi 2 u x t u x u t w xi eta w xi w eta 0 贝克隆德变换是求非线性偏微分方程精确解的一种重要的变换 1876年瑞典数学家贝克隆德发现正弦 戈尔登方程的不同解u v u x t sin u displaystyle u xt sin u v x t sin v displaystyle v xt sin v 之间有如下关系 2 v x u x 2 b sin u v 2 v t u t 2 b sin v u 2 displaystyle begin aligned v x amp u x 2 beta sin Bigl frac u v 2 Bigr v t amp u t frac 2 beta sin Bigl frac v u 2 Bigr end aligned 这就是正弦 戈尔登方程的贝克隆德自变换 将贝克隆德自变换第一式对t取微商 二式对x微商 b t 1 1 2 u x t 1 2 v x t b c o s 1 2 u 1 2 v 1 2 u t 1 2 v t displaystyle bt1 1 2 u xt 1 2 v xt beta cos 1 2 u 1 2 v 1 2 u t 1 2 v t b t 2 1 2 u x t 1 2 v x t c o s 1 2 u 1 2 v 1 2 u x 1 2 v x b displaystyle bt2 1 2 u xt 1 2 v xt cos 1 2 u 1 2 v 1 2 u x 1 2 v x beta 消除v即得u x t sin u displaystyle u xt sin u 消除u项即得 v x t sin v displaystyle v xt sin v 贝克隆德变换常用于求正弦 戈尔登方程 高维广义Burger I型方程 高维广义Burger II型方程的精确解 3 解正弦 戈尔登方程 编辑 Sine gordon kink2d Sine gordon 3D animation1 Sine gordon 3D animation2 利用正弦 戈尔登方程的自贝克隆德变换解正弦 戈尔登方程 由贝克隆德自变换v x u x 2 b sin u v 2 displaystyle v x u x 2 beta sin frac u v 2 令v 0 得u x 2 b sin u 2 displaystyle u x 2 beta sin Bigl frac u 2 Bigr 显然2 b u x s i n 1 2 u displaystyle 2 beta u x sin 1 2 u 两边对x积分 得 2 b x 2 l n c s c 1 2 u c o t 1 2 u displaystyle 2 beta x 2 ln csc 1 2 u cot 1 2 u 对贝克隆德自变换第二式作同样运算得 2 t b 2 l n c s c 1 2 u c o t 1 2 u displaystyle 2 t beta 2 ln csc 1 2 u cot 1 2 u 经过三角函数运算 二式简化为2 b x 2 l n t a n u 4 displaystyle 2 beta x 2 ln tan u 4 2 t b 2 l n t a n u 4 displaystyle 2t beta 2 ln tan u 4 二式相加得 2 b e t a x 2 t b e t a 4 l n t a n 1 4 u displaystyle 2 beta x 2 t beta 4 ln tan 1 4 u 分离u得正弦 戈尔登方程的一个解析解 u x t 4 a r c t a n e b 2 x t 2 b displaystyle u x t 4 arctan e frac beta 2 x t 2 beta 又从2 t b 2 l n c s c 1 2 u c o t 1 2 u displaystyle 2 t beta 2 ln csc 1 2 u cot 1 2 u 直接接求u得另外两个解析解 u x t 2 a r c t a n 2 e x p 1 2 b 2 x t b 1 e x p 1 2 b 2 x t b 2 displaystyle u x t 2 arctan 2 exp 1 2 beta 2 x t beta 1 exp 1 2 beta 2 x t beta 2 u x t 2 a r c t a n e x p 1 2 b 2 x t b 2 1 1 e x p 1 2 b 2 x t b 2 displaystyle u x t 2 arctan exp 1 2 beta 2 x t beta 2 1 1 exp 1 2 beta 2 x t beta 2 另见 编辑可积系统 英语 Integrable system KdV方程参考文献 编辑 Inna Shignareve and Carlos Lizarraga Celaya Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Methematica p46 Springer 阎振亚著 复杂非线性波的构造性理论及其应用 6页科学出版社2007年 阎振亚著 复杂非线性波的构造性理论及其应用 106 111页科学出版社2007年 取自 https zh wikipedia org w index php title 贝克隆德变换 amp oldid 68462095, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
