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差分

差分,又名差分函數差分運算,一般是指有限差分(英語:Finite difference),是数学中的一个概念,将原函数 映射。差分運算,相應於微分運算,是微积分中重要的一个概念。

定义

差分分为前向差分逆向差分

前向差分

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数 ,如果在等距节点:

 
 

则称 ,函数在每个小区间上的增量  一阶差分。[1]

在微积分学中的有限差分(finite differences),前向差分通常是微分离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当 多项式时,前向差分为Delta算子(称 为差分算子[2]),一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低 1。

逆向差分

对于函数 ,如果:

 

则称  的一阶逆向差分。

差分的阶

一阶差分的差分为二阶差分,二阶差分的差分为三阶差分,其余类推。记:

   阶差分。

如果

   
 

根据数学归纳法,有

 

其中, 二项式系数

特别的,有

 

前向差分有时候也称作数列二项式变换

差分的性质

对比解析函数中的微分的属性,差分的性质有:

 
  • 线性:如果    为常数,则有
 
 
 
 
 
 
 
 
 

牛頓級數

 
自然哲學的數學原理》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應著6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式也叫做牛頓級數,由“牛頓前向差分方程”的項組成,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五[3],此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。

單位步長情況

 值間隔為單位步長 時,有:

 

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式

 

二項式係數,其中的 是“下降階乘冪”(另一種常見的標記法為 ),空積 被定義為 。這裡的 是“前向差分”的特定情況,即間距 

實例

為了展示牛頓的這個公式是如何使用的,舉例數列 1, 4, 9,16...的前幾項,可以找到一個多項式重新生成這些值,首先計算一個差分表,接著將對應於x0(標示了下劃線)的這些差分代換入公式,

 

一般情況

對於x值間隔為非一致步長的情況,牛頓計算均差,在間隔一致但非單位量時,即上述前向差分的一般情況,插值公式為:

 

在最終公式中hk被消去掉了,對於非一致步長的情況則不會出現階乘。

参考

  1. ^ 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P204.
  2. ^ 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P205.
  3. ^ Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1

参见

参考文献

  • Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert, Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice's integrals, Theoretical Computer Science, 1995, 144 (1–2): 101–124, doi:10.1016/0304-3975(94)00281-M [永久失效連結].

差分, 此条目的主題是数学当中的一种函数或运算, 关于电子系统设计与信号传输中的传输, 請見, 信号, 又名函數或運算, 一般是指有限, 英語, finite, difference, 是数学中的一个概念, 将原函数, displaystyle, 映射到, displaystyle, 運算, 相應於微分運算, 是微积分中重要的一个概念, 目录, 定义, 前向, 逆向, 的阶, 的性质, 牛頓級數, 單位步長情況, 實例, 一般情況, 参考, 参见, 参考文献定义, 编辑分为前向和逆向, 前向, 编辑, 函数的前向通. 此条目的主題是数学当中的一种函数或运算 关于电子系统设计与信号传输中的差分传输 請見 差分信号 差分 又名差分函數或差分運算 一般是指有限差分 英語 Finite difference 是数学中的一个概念 将原函数 f x displaystyle f x 映射到 f x a f x b displaystyle f x a f x b 差分運算 相應於微分運算 是微积分中重要的一个概念 目录 1 定义 1 1 前向差分 1 2 逆向差分 2 差分的阶 3 差分的性质 4 牛頓級數 4 1 單位步長情況 4 2 實例 4 3 一般情況 5 参考 6 参见 7 参考文献定义 编辑差分分为前向差分和逆向差分 前向差分 编辑 函数的前向差分通常简称为函数的差分 对于函数 f x displaystyle f x 如果在等距节点 x k x 0 k h k 0 1 n displaystyle x k x 0 kh k 0 1 n D f x k f x k 1 f x k displaystyle Delta f x k f x k 1 f x k 则称 D f x displaystyle Delta f x 函数在每个小区间上的增量y k 1 y k displaystyle y k 1 y k 为 f x displaystyle f x 一阶差分 1 在微积分学中的有限差分 finite differences 前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算 差分方程的解法也与微分方程的解法相似 当 f x displaystyle f x 是多项式时 前向差分为Delta算子 称D displaystyle Delta 为差分算子 2 一种线性算子 前向差分会将多项式阶数降低 1 逆向差分 编辑 对于函数 f x k displaystyle f x k 如果 f x k f x k f x k 1 displaystyle nabla f x k f x k f x k 1 则称 f x k displaystyle nabla f x k 为 f x displaystyle f x 的一阶逆向差分 差分的阶 编辑一阶差分的差分为二阶差分 二阶差分的差分为三阶差分 其余类推 记 D n f x displaystyle Delta n f x 为 f x displaystyle f x 的 n displaystyle n 阶差分 如果 D n f x displaystyle Delta n f x D D n 1 f x displaystyle Delta Delta n 1 f x D n 1 f x 1 D n 1 f x displaystyle Delta n 1 f x 1 Delta n 1 f x 根据数学归纳法 有 D n f x i 0 n n i 1 n i f x i displaystyle Delta n f x sum i 0 n n choose i 1 n i f x i 其中 n i displaystyle n choose i 为二项式系数 特别的 有 D 2 f x f x 2 2 f x 1 f x displaystyle Delta 2 f x f x 2 2f x 1 f x 前向差分有时候也称作数列的二项式变换差分的性质 编辑对比解析函数中的微分的属性 差分的性质有 如果C为常数 则有D C 0 displaystyle Delta C 0 dd 线性 如果 a displaystyle a 和 b displaystyle b 为常数 则有D a f b g a D f b D g displaystyle Delta af bg a Delta f b Delta g dd 乘法定则 D f g f D g g D f D f D g displaystyle Delta fg f Delta g g Delta f Delta f Delta g f g f g g f f g displaystyle nabla fg f nabla g g nabla f nabla f nabla g dd 除法定则 f g 1 g det f g f g det g g 1 1 1 displaystyle nabla left frac f g right frac 1 g det begin bmatrix nabla f amp nabla g f amp g end bmatrix det begin bmatrix g amp nabla g 1 amp 1 end bmatrix 1 D f g 1 g det D f D g f g det g D g 1 1 1 displaystyle Delta left dfrac f g right dfrac 1 g det begin bmatrix Delta f amp Delta g f amp g end bmatrix det begin bmatrix g amp Delta g 1 amp 1 end bmatrix 1 dd 或 f g g f f g g g g displaystyle nabla left frac f g right frac g nabla f f nabla g g cdot g nabla g D f g g D f f D g g g D g displaystyle Delta left frac f g right frac g Delta f f Delta g g cdot g Delta g dd 级数 n a b D f n f b 1 f a displaystyle sum n a b Delta f n f b 1 f a n a b f n f b f a 1 displaystyle sum n a b nabla f n f b f a 1 dd 牛頓級數 编辑参见 均差 自然哲學的數學原理 的第三編 宇宙體系 的引理五的图例 這裡在橫坐標上有6個點H I K L M N 對應著6個值A B C D E F 生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值 計算任意點S對應的值R 牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況 牛頓插值公式也叫做牛頓級數 由 牛頓前向差分方程 的項組成 得名於伊薩克 牛頓爵士 最早发表为他在1687年出版的 自然哲學的數學原理 中第三編 宇宙體系 的引理五 3 此前詹姆斯 格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果 一般稱其為連續泰勒展開的離散對應 單位步長情況 编辑 當x displaystyle x 值間隔為單位步長1 displaystyle 1 時 有 f x f a x a 1 D 1 f a x a 1 2 D 2 f a f a k 1 n D k f a i 1 k x a i 1 i k 0 n x a k D k f a displaystyle begin aligned f x amp f a frac x a 1 left Delta 1 f a frac x a 1 2 left Delta 2 f a cdots right right amp f a sum k 1 n Delta k f a prod i 1 k frac x a i 1 i amp sum k 0 n x a choose k Delta k f a end aligned 這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數 這裡的表達式 x k x k k x k x x 1 x 2 x k 1 displaystyle x choose k frac x k k quad quad x k x x 1 x 2 cdots x k 1 是二項式係數 其中的 x k displaystyle x k 是 下降階乘冪 另一種常見的標記法為x k displaystyle x underline k 空積 x 0 displaystyle x 0 被定義為1 displaystyle 1 這裡的D k f x displaystyle Delta k left f right x 是 前向差分 的特定情況 即間距h 1 displaystyle h 1 實例 编辑 為了展示牛頓的這個公式是如何使用的 舉例數列 1 4 9 16 的前幾項 可以找到一個多項式重新生成這些值 首先計算一個差分表 接著將對應於x0 標示了下劃線 的這些差分代換入公式 x D 0 D 1 D 2 D 3 1 1 3 2 4 2 5 0 3 9 2 7 4 16 f x D 0 D 1 x x 0 1 D 2 x x 0 x x 0 1 2 x 0 1 1 3 x 1 1 2 x 1 x 2 2 1 3 x 1 x 1 x 2 x 2 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编辑 科学出版社 数值分析及科学计算 薛毅 编 第六章 第2节 Newton插值 P204 科学出版社 数值分析及科学计算 薛毅 编 第六章 第2节 Newton插值 P205 Newton Isaac 1687 Principia Book III Lemma V Case 1参见 编辑递归 招差术 遞迴關係式 拉格朗日多项式 吉尔布雷斯猜想 牛顿多项式 牛顿级数表 泰勒级数 时标微积分 分部求和法参考文献 编辑Flajolet Philippe Sedgewick Robert Mellin transforms and asymptotics Finite differences and Rice s integrals Theoretical Computer Science 1995 144 1 2 101 124 doi 10 1016 0304 3975 94 00281 M 永久失效連結 取自 https zh wikipedia org w index php title 差分 amp oldid 75610034, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,

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