尼姆数

组合博弈论引入了一类数学对象，称为尼姆数，它们被定义为尼姆堆的值。但是由于斯普莱格–格隆第定理，它们可以用于一大类游戏的研究。事实上，尼姆数是在序数的真类上赋予尼姆加法和尼姆乘法的运算之后形成的概念。这些运算和通常施行于序数类上的加法和乘法并不相同。

尼姆数的特点

斯普莱格–格隆第定理指出：每个无偏博弈等价于一个特定大小的尼姆堆。尼姆数的加法运算（叫做尼姆加法）可以用于计算等价于多个堆的单一尼姆堆大小。这被定义为

${\displaystyle \alpha +\beta =\operatorname {mex} (\{\,\alpha '+\beta :\alpha '<\alpha \,\}\cup \{\,\alpha +\beta ':\beta '<\beta \,\}),}$ 

对于一个序数的集合${\displaystyle S}$ ，${\displaystyle \operatorname {mex} (S)}$ 定义为“局外最小序数”，也就是说不是${\displaystyle S}$ 的元素的最小一个序数。对于有限序数，尼姆和即是两个数进行异或运算的结果，这个结果也可以简单地通过将相加的各个数字的二进制表示逐位进行不进位的加法而得到（例如，100010＋110010＝10000）。

尼姆数的乘法运算（尼姆乘法）可以递归地定义如下：

${\displaystyle \alpha \beta =\operatorname {mex} (\{\,\alpha '\beta +\alpha \beta '+\alpha '\beta ':\alpha '<\alpha ,\beta '<\beta \,\}).}$ 

全体尼姆数不能组成普通集合，而只是真类。要是把它当作普通集合，或者考虑其任意的一个对尼姆加法和乘法封闭的子集，那么尼姆数的类可以构成一个特征为2的代数封闭域。尼姆加法的单位元是序数0，而尼姆乘法的单位元则是序数1。由于特征为2，${\displaystyle \alpha }$ 的尼姆加法逆元是${\displaystyle \alpha }$ 自身。非零序数${\displaystyle \alpha }$ 的尼姆乘法逆元是${\displaystyle \operatorname {mex} (S)}$ ，这里${\displaystyle S}$ 是满足以下条件的序数集合：

1. 0是${\displaystyle S}$ 的元素；
2. 如果${\displaystyle 0<\alpha '<\alpha }$ 且${\displaystyle \beta '}$ 是${\displaystyle S}$ 的元素，那么${\displaystyle \left(1+(\alpha '-\alpha )\beta '\right)/\alpha '}$ 也是${\displaystyle S}$ 的元素。

若${\displaystyle n}$ 是自然数，小于${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ 的尼姆数组成一个${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ 阶的有限域${\displaystyle GF(2^{2^{n}})}$ 。

正如尼姆加法，有限序数的尼姆积也有一些有意思的结果：

1. 2的不同费马幂（形如${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ ）的尼姆积等于其序数积；
2. 2的某个费马幂${\displaystyle x}$ 的平方等于${\displaystyle 3x/2}$ 在通常的序数乘法下的结果。

尼姆数组成的最小代数封闭域是由小于${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}}$ 的序数构成的，这里ω是最小的无限序数。因此，作为尼姆数的${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}}$ 是尼姆数“域”上最小的超越数。

加法和乘法表

以下表格列出了最小16个尼姆数的加法和乘法表。因为16是一个费马幂（形如${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ ），因此这个子集是封闭的。

尼姆加法

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	1	0	3	2	5	4	7	6	9	8	11	10	13	12	15	14
2	2	3	0	1	6	7	4	5	10	11	8	9	14	15	12	13
3	3	2	1	0	7	6	5	4	11	10	9	8	15	14	13	12
4	4	5	6	7	0	1	2	3	12	13	14	15	8	9	10	11
5	5	4	7	6	1	0	3	2	13	12	15	14	9	8	11	10
6	6	7	4	5	2	3	0	1	14	15	12	13	10	11	8	9
7	7	6	5	4	3	2	1	0	15	14	13	12	11	10	9	8
8	8	9	10	11	12	13	14	15	0	1	2	3	4	5	6	7
9	9	8	11	10	13	12	15	14	1	0	3	2	5	4	7	6
10	10	11	8	9	14	15	12	13	2	3	0	1	6	7	4	5
11	11	10	9	8	15	14	13	12	3	2	1	0	7	6	5	4
12	12	13	14	15	8	9	10	11	4	5	6	7	0	1	2	3
13	13	12	15	14	9	8	11	10	5	4	7	6	1	0	3	2
14	14	15	12	13	10	11	8	9	6	7	4	5	2	3	0	1
15	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0

尼姆乘法

×	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
2	0	2	3	1	8	10	11	9	12	14	15	13	4	6	7	5
3	0	3	1	2	12	15	13	14	4	7	5	6	8	11	9	10
4	0	4	8	12	6	2	14	10	11	15	3	7	13	9	5	1
5	0	5	10	15	2	7	8	13	3	6	9	12	1	4	11	14
6	0	6	11	13	14	8	5	3	7	1	12	10	9	15	2	4
7	0	7	9	14	10	13	3	4	15	8	6	1	5	2	12	11
8	0	8	12	4	11	3	7	15	13	5	1	9	6	14	10	2
9	0	9	14	7	15	6	1	8	5	12	11	2	10	3	4	13
10	0	10	15	5	3	9	12	6	1	11	14	4	2	8	13	7
11	0	11	13	6	7	12	10	1	9	2	4	15	14	5	3	8
12	0	12	4	8	13	1	9	5	6	10	2	14	11	7	15	3
13	0	13	6	11	9	4	15	2	14	3	8	5	7	10	1	12
14	0	14	7	9	5	11	2	12	10	4	13	3	15	1	8	6
15	0	15	5	10	1	14	4	11	2	13	7	8	3	12	6	9

参考文献

• （英文）Conway, J. H., On Numbers and Games, Academic Press Inc. (London) Ltd., 1976
• （英文） Dierk Schleicher and Michael Stoll, An Introduction to Conway's Games and Numbers, math.CO/0410026 （页面存档备份，存于互联网档案馆） – which discusses games, surreal numbers, and nimbers.
• （中文）谈祥伯 译. 稳操胜券. 上海世纪出版集团 上海教育出版社. 2003年. ISBN 7532092208.