fbpx
维基百科

对称差

数学上,两个集合对称差是只属于其中一个集合,而不属于另一个集合的元素组成的集合。 集合论中的这个运算相当于布尔逻辑中的异或运算。

文氏圖。對稱差標為紅色。

集合的对称差通常表示为,对称差的符号在有些图论书籍中也使用符号来表示。例如:集合的对称差为。所有学生的集合和所有女性的集合的对称差为所有男性学生和所有女性非学生组成的集合。

定义

对称差是集合间的运算,两个集合  ,其对称差 有几种等价的定义方式:

  1.  
  2.  

性质

对称差运算的主要性质包括:

交换律
 
结合律
 
单位元
 (空集是单位元)
逆元
 
分配律
 
注意:
 
 
 

布尔环

以对称差作为加法,交集为乘法,任何集合 的幂集 构成一个布尔环,并可以诱导一个同构的布尔代数

综上可得,采用对称差运算,任意集合 幂集阿贝尔群。由于该群中所有元素都是其自身的负元,这个群实际上是二元域 上的向量空间。若 有限,则以其为元素的单元素集合构成这个向量空间的,那么向量空间的维数等于 的元素个数。这种构造方法用于图论,可定义图的圈空间。

对称差满足的恒等式有:

 
 
 
 
 

与逻辑和布尔代数的关系

或者用异或运算( )表示:

 

对称差可以在任意布尔代数中定义,写作:

 

参考

对称差, 数学上, 两个集合的是只属于其中一个集合, 而不属于另一个集合的元素组成的集合, 集合论中的这个运算相当于布尔逻辑中的异或运算, displaystyle, operatorname, triangle, 的文氏圖, 對稱差標為紅色, 集合a, displaystyle, 和b, displaystyle, 的通常表示为a, displaystyle, operatorname, triangle, 的符号在有些图论书籍中也使用, displaystyle, oplus, 符号来表示, 例如, 集合, d. 数学上 两个集合的对称差是只属于其中一个集合 而不属于另一个集合的元素组成的集合 集合论中的这个运算相当于布尔逻辑中的异或运算 A B displaystyle A operatorname triangle B 的文氏圖 對稱差標為紅色 集合A displaystyle A 和B displaystyle B 的对称差通常表示为A B displaystyle A operatorname triangle B 对称差的符号在有些图论书籍中也使用 displaystyle oplus 符号来表示 例如 集合 1 2 3 displaystyle 1 2 3 和 3 4 displaystyle 3 4 的对称差为 1 2 4 displaystyle 1 2 4 所有学生的集合和所有女性的集合的对称差为所有男性学生和所有女性非学生组成的集合 目录 1 定义 2 性质 2 1 布尔环 3 与逻辑和布尔代数的关系 4 参考定义 编辑对称差是集合间的运算 两个集合A displaystyle A 和B displaystyle B 其对称差A B displaystyle A operatorname triangle B 有几种等价的定义方式 A B A B B A displaystyle A operatorname triangle B A B cup B A A B A B A B displaystyle A operatorname triangle B A cup B A cap B 性质 编辑对称差运算的主要性质包括 交换律 A B B A displaystyle A operatorname triangle B B operatorname triangle A 结合律 A B C A B C displaystyle A operatorname triangle B operatorname triangle C A operatorname triangle B operatorname triangle C 单位元 A A displaystyle varnothing operatorname triangle A A 空集是单位元 逆元 A A displaystyle A operatorname triangle A varnothing 分配律 A B C A B A C displaystyle A cap B operatorname triangle C A cap B operatorname triangle A cap C 注意 A B C A B A C displaystyle A operatorname triangle B cap C neq A operatorname triangle B cap A operatorname triangle C A B C A B A C displaystyle A cup B operatorname triangle C neq A cup B operatorname triangle A cup C A B C A B A C displaystyle A operatorname triangle B cup C neq A operatorname triangle B cup A operatorname triangle C dd 布尔环 编辑 以对称差作为加法 交集为乘法 任何集合X displaystyle X 的幂集P X displaystyle mathcal P X 构成一个布尔环 并可以诱导一个同构的布尔代数 综上可得 采用对称差运算 任意集合X displaystyle X 的幂集是阿贝尔群 由于该群中所有元素都是其自身的负元 这个群实际上是二元域Z 2 displaystyle Z 2 上的向量空间 若X displaystyle X 有限 则以其为元素的单元素集合构成这个向量空间的基 那么向量空间的维数等于X displaystyle X 的元素个数 这种构造方法用于图论 可定义图的圈空间 对称差满足的恒等式有 A A displaystyle A operatorname triangle varnothing A A A displaystyle A operatorname triangle A varnothing A B B A displaystyle A operatorname triangle B B operatorname triangle A A B C A B C displaystyle A operatorname triangle B operatorname triangle C A operatorname triangle B operatorname triangle C A B A C B C displaystyle A operatorname triangle B A operatorname triangle C Rightarrow B C 与逻辑和布尔代数的关系 编辑或者用异或运算 displaystyle oplus 表示 A B x x A x B displaystyle A operatorname triangle B x mid x in A oplus x in B 对称差可以在任意布尔代数中定义 写作 x y x y x y x y y x displaystyle x operatorname triangle y x lor y land neg x land y x land neg y lor y land neg x 参考 编辑朴素集合论 并集 交集 补集 不交并 取自 https zh wikipedia org w index php title 对称差 amp oldid 68013897, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,

文章

,阅读,下载,免费,免费下载,mp3,视频,mp4,3gp, jpg,jpeg,gif,png,图片,音乐,歌曲,电影,书籍,游戏,游戏。