完全性 (统计学)

在统计学中， 完全性，又称完备性是统计量的一个性质。 从本质上讲，它确保不同的参数值对应的分布是不同的。一个具有完全性的统计量称为完全统计量。

定义

考虑一个随机变量 ${\displaystyle X}$  ，其概率分布 ${\displaystyle P_{\theta }}$  以 ${\displaystyle \theta }$  为参数。称一个统计量 ${\displaystyle s}$  是完全的，若对任意可测函数 ${\displaystyle g}$ ，^[1]

如果对所有 ${\displaystyle \theta }$  都有 ${\displaystyle E(g(s(X)))=0}$ ，则 ${\displaystyle P_{\theta }(g(s(X))=0)=1}$  对所有 ${\displaystyle \theta }$  都成立。

若对上述函数 ${\displaystyle g}$  加上有界的条件，则称该统计量为有界完全的。

例子

若${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ 是来自参数为${\displaystyle p}$ 的伯努利分布的独立随机样本，其中${\displaystyle p\in (0,1)}$ 。统计量${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}}$ 是${\displaystyle p}$ 的完全统计量。注意到${\displaystyle T}$ 服从参数为${\displaystyle n}$ 和${\displaystyle p}$ 的二项分布。若有某个${\displaystyle g}$ ，使得${\displaystyle E_{p}(g(T))=0}$ 对${\displaystyle p\in (0,1)}$ 都成立，则

${\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}g(i)=(1-p)^{n}\sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{i},p\in (0,1).}$ 

令${\displaystyle r=p/(1-p)\in \mathbb {R} }$ ，则多项式${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}r^{i}}$ 在${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上恒为0。可知其每一项系数都为0，进而得到${\displaystyle g=0}$ 。由定义，${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}}$ 是${\displaystyle p}$ 的完全统计量。

完全性的重要性

巴苏定理

主条目：巴苏定理

有界完全性出现在巴苏定理中，^[2] 它指出任何有界完全且充分的统计量与任何辅助统计量独立。

Bahadur定理

有界完全性也出现在Bahadur定理中。 定理指出，当至少存在一个最小充分统计量时，如果一个统计量是充分的并且有界完全的，则它是一个最小充分统计量。

注释

1. Young, G. A. and Smith, R. L. (2005). Essentials of Statistical Inference. (p. 94). Cambridge University Press.
2. Casella, G. and Berger, R. L. (2001). Statistical Inference. (pp. 287). Duxbury Press.

参考文献

• Basu, D. J. K. Ghosh , 编. Statistical information and likelihood : A collection of critical essays by Dr. D. Basu. Lecture Notes in Statistics 45. Springer. 1988. ISBN 0-387-96751-6. MR 0953081. 
• Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. Mathematical statistics, Volume 1: Basic and selected topics Second (updated printing 2007) of the Holden-Day 1976. Pearson Prentice–Hall. 2001. ISBN 0-13-850363-X. MR 0443141. 
• E. L., Lehmann; Romano, Joseph P. Testing statistical hypotheses. Springer Texts in Statistics Third. New York: Springer. 2005: xiv+784 [2017-12-25]. ISBN 0-387-98864-5. MR 2135927. （原始内容存档于2013-02-02）. 
• Lehmann, E.L.; Scheffé, H. Completeness, similar regions, and unbiased estimation. I.. Sankhyā: the Indian Journal of Statistics. 1950, 10 (4): 305–340. JSTOR 25048038. MR 0039201. 
• Lehmann, E.L.; Scheffé, H. Completeness, similar regions, and unbiased estimation. II. Sankhyā: the Indian Journal of Statistics. 1955, 15 (3): 219–236. JSTOR 25048243. MR 0072410.