奥尔-索末菲方程

奥尔－索末菲方程（英語：Orr–Sommerfeld equation）是流体力学中的一个特征值方程，用以描述黏性平行流动的二维线性扰动模态。当平行层流满足特定条件时，相应的纳维-斯托克斯方程的解会变得不稳定，此时可使用奥尔－索末菲方程判断流体动力稳定性的条件。

奥尔－索末菲方程以威廉·迈克法登·奥尔（英语：William McFadden Orr）与阿诺德·索末菲命名。

公式

 

图中所示为管道流动中的基流。

假设经扰动后的流速为

${\displaystyle \mathbf {u} =\left(U(z)+u'(x,z,t),0,w'(x,z,t)\right)}$ ,

其中${\displaystyle (U(z),0,0)}$ 为未经扰动的基流。扰动速度有类波解${\displaystyle \mathbf {u} '\propto \exp(i\alpha (x-ct))}$ 。使用流函数（英语：Stream function）表示流动，由线性纳维-斯托克斯方程可以得到有量纲的奥尔－索末菲方程：

${\displaystyle {\frac {\mu }{i\alpha \rho }}\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)^{2}\varphi =(U-c)\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)\varphi -U''\varphi }$ ,

其中${\displaystyle \mu }$ 为流体的动力黏度，${\displaystyle \rho }$ 为流体密度，${\displaystyle \varphi }$ 为流函数或速度势函数。如不考虑黏性影响，该方程可简化为瑞利方程（英语：Rayleigh's equation (fluid dynamics)）。

无量纲形式的奥尔－索末菲方程为：

${\displaystyle {1 \over i\alpha \,Re}\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)^{2}\varphi =(U-c)\left({d^{2} \over dz^{2}}-\alpha ^{2}\right)\varphi -U''\varphi }$ ,

其中${\displaystyle Re={\frac {\rho U_{0}h}{\mu }}}$ 为基流的雷诺数（${\displaystyle U_{0}}$ 为特征速度，${\displaystyle h}$ 为管道高度）。壁面（${\displaystyle z=z_{1}}$ 与${\displaystyle z=z_{2}}$ ）的无滑移边界条件为：

${\displaystyle \alpha \varphi ={d\varphi \over dz}=0}$ （${\displaystyle \varphi }$ 为势函数）

或

${\displaystyle \alpha \varphi ={d\varphi \over dx}=0}$ （${\displaystyle \varphi }$ 为流函数）。

方程的特征值为${\displaystyle c}$ ，对应的特征向量为${\displaystyle \varphi }$ 。当波速${\displaystyle c}$ 的虚部为正时基流不稳定，微小扰动会以指数形式放大。

参考文献

• Orr, W. M'F. The stability or instability of the steady motions of a liquid. Part I. Proceedings of the Royal Irish Academy. A. 1907, 27: 9–68. 
• Orr, W. M'F. The stability or instability of the steady motions of a liquid. Part II. Proceedings of the Royal Irish Academy. A. 1907, 27: 69–138. 
• Sommerfeld, A. Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen. Proceedings of the 4th International Congress of Mathematicians III. Rome. 1908: 116–124.