夾擠定理

夾擠定理（英語：Squeeze theorem），又稱夹逼定理、夹极限定理、三明治定理、逼近定理、迫敛定理，是有關函數的極限的数学定理。指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，则第三個函數在該點的極限也相同^[1]。

定义

設${\displaystyle I}$ 為包含某點${\displaystyle a}$ 的區間，${\displaystyle f,g,h}$ 為定義在${\displaystyle I}$ 上的函數。若對於所有屬於${\displaystyle I}$ 而不等於${\displaystyle a}$ 的${\displaystyle x}$ ，有：

• ${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$ 
• ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L}$ 

則${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$ 。

${\displaystyle g(x)}$ 和${\displaystyle h(x)}$ 分別稱為${\displaystyle f(x)}$ 的下界和上界。

${\displaystyle a}$ 若在${\displaystyle I}$ 的端點，上面的極限是左極限或右極限。 對於${\displaystyle x\to \infty }$ ，這個定理還是可用的。

例子

有关正弦函数的极限

对于 ${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}$ ，

在任何包含0的區間上，除了${\displaystyle x=0}$ ，${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}$ 均有定義。

對於實數值，正弦函數的絕對值不大於1，因此${\displaystyle f(x)}$ 的絕對值也不大於${\displaystyle x^{2}}$ 。設${\displaystyle g(x)=-x^{2}}$ , ${\displaystyle h(x)=x^{2}}$ ：

${\displaystyle -1\leq \sin {\frac {1}{x}}\leq 1}$ 

${\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\leq x^{2}}$ 

${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$ 

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\ g(x)=\lim _{x\to 0}\ h(x)=0}$ ，根據夾擠定理

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=0}$ 。

对于 ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}}$ ，

首先用幾何方法證明：若${\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}}$ ，${\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1}$ 。

 

稱(1,0)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。${\displaystyle C}$ 在${\displaystyle OD}$ 上，使得${\displaystyle AC}$ 垂直${\displaystyle OD}$ 。過${\displaystyle A}$ 作單位圓的切線，與${\displaystyle OD}$ 的延長線交於${\displaystyle E}$ 。

由定義可得${\displaystyle x=\angle AOD=arcAD}$ ，${\displaystyle \tan x=AE}$ 。

${\displaystyle AC<AD<arcAD}$ 

${\displaystyle \sin x<x}$ 

${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}<1}$ 

${\displaystyle arcAD<AE}$ 

${\displaystyle x<\tan x}$ 

${\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}}$ 

因為${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\cos x=1}$ ，根據夾擠定理

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\sin x}{x}}=1}$ 。

另一邊的極限可用這個結果求出。

高斯函數

高斯函數的積分的應用包括連續傅立葉變換和正交化。 一般高斯函數的積分是${\displaystyle I(a)=\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}\,dx}$ ，現在要求的是${\displaystyle I(\infty )=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}$ 。

被積函數對於y軸是對稱的，因此${\displaystyle I(\infty )}$ 是被積函數對於所有實數的積分的一半。

${\displaystyle (2I)^{2}=\left[2\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}dx\right]^{2}=\left[\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx\right]^{2}=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy}$ 

這個二重積分在一個${\displaystyle (-a,-a),(-a,a),(a,-a),(a,a)}$ 的正方形內。它比其內切圓大，比外接圓小。這些可用極坐標表示：

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta \leq (2I)^{2}\leq \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta }$ 

${\displaystyle \pi (1-e^{-a^{2}})\leq (2I)^{2}\leq \pi (1-e^{-2a^{2}})}$ 

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-a^{2}}\right)=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-2a^{2}}\right)=\pi \vdash [2I(\infty )]^{2}=\pi }$ 

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }(2I)^{2}=\pi }$ 

${\displaystyle I(\infty )={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$ 

證明

極限為0的情況

若${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} }$ ，${\displaystyle g(x)=0}$ ，而且${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=0}$ 。

設${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，根據函數的極限的定義，存在${\displaystyle \delta >0}$ 使得：若${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ ，則${\displaystyle |h(x)|<\varepsilon }$ 。

由於 ${\displaystyle 0=g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$ ，故${\displaystyle |f(x)|\leq |h(x)|}$ 。

若 ${\displaystyle 0<|x-a|<\delta }$ ，則${\displaystyle |f(x)|\leq |h(x)|<\varepsilon }$ 。於是，${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$ 。

一般情況

${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$ 

${\displaystyle 0\leq f(x)-g(x)\leq h(x)-g(x)}$ 

當${\displaystyle x\to a}$ ：

${\displaystyle h(x)-g(x)\to L-L=0}$ 

根據上面已證的特殊情況，可知${\displaystyle f(x)-g(x)\to 0}$ 。

${\displaystyle f(x)=[f(x)-g(x)]+g(x)\to 0+L=L}$ 。

参考

1. Stewart, James. Chapter 15.2 Limits and Continuity. Multivariable Calculus (6th ed.). 2008: 909–910. ISBN 978-0495011637.