失效率

失效率（英語：Failure rate），也称故障率^[1]，是一個工程系統或零件失效的頻率，單位通常會用每小時的失效次數，一般會用希臘字母λ表示，是可靠度工程中的重要參數。

系統的失效率一般會隨著時間及系統的生命週期而改變。例如車輛在第五年時的失效率會比第一年要高很多倍，一般新車是不會需要換排氣管、檢修煞車，也不會有重大傳動系統的問題。

實務上，一般會使用平均故障間隔（MTBF, 1/λ）而不使用失效率。若是失效率假設是定值的話，此作法是有效的（定值失效率的假設一般常用在複雜元件/系統，軍事或航天的一些可靠度標準中的也接受此假設），不過只有在浴缸曲線中平坦的部份（這也稱為「可用生命期」）才符合失效率是定值的情形，因此不適合將平均故障間隔外插去預估元件的生命期，因為當時會碰到浴缸曲線的损耗阶段，失效率會大幅提高，生命期會較依失效率推算的時間要少。

失效率一般會用固定時間（例如小時）下的失效次數表示，原因是這樣的用法（例如2000小時）會比很小的數值（例如每小時0.0005次）容易理解及記憶。

在一些需要管理失效率的系統（特別是安全系統）中，平均故障間隔是重要的系統參數。平均故障間隔常出現在工程設計要求中，也決定了系統維護及檢視的頻率。

失效率是保險、財務、商業及管制行业中的一個重要因子，也是安全系統設計的基礎，應用在許多不同的場合中。

风险率（Hazard rate）及故障发生率（rate of occurrence of failures, ROCOF）的定義和失效率不同，常誤認為和失效率定義相同。

离散定义下的失效率

失效率可以用以下的方式定义：

在一特定的测试條件及測試時間下，統計群體內失效次數總和，除以統計群體在失效前的測試時間總和^[2]。

雖然失效率${\displaystyle \lambda (t)}$ 常被視為假設時間${\displaystyle t}$ 前沒有失效的情形下，在一段特定時間內出現失效的機率，但失效率可能會大於1，因此其實不是機率。若錯誤的將失效率以%表示，也很容易造成對於失效率不正確的認知。失效率可以用可靠度函數來定義，可靠度函數也稱為生存函數，是在時間${\displaystyle t}$ 之前沒有失效的機率。

${\displaystyle \lambda (t)={\frac {f(t)}{R(t)}}}$ ，其中${\displaystyle f(t)}$ 為（第一次）失效發生時間的分佈（失效密度函數），而${\displaystyle R(t)=1-F(t)}$ .

${\displaystyle \lambda (t)={\frac {R(t_{1})-R(t_{2})}{(t_{2}-t_{1})\cdot R(t_{1})}}={\frac {R(t)-R(t+\triangle t)}{\triangle t\cdot R(t)}}\!}$ 

在從時間${\displaystyle t_{1}}$  (或${\displaystyle t}$ )到${\displaystyle t_{2}}$ 之間時間區間${\displaystyle (t_{2}-t_{1})}$ ，而${\displaystyle \Delta t}$ 定義為${\displaystyle (t_{2}-t_{1})}$ 。

連續定義下的失效率

 

指數失效密度函數

計算較短時間區間下的失效率，可以得到風險率（或風險函數）${\displaystyle h(t)}$ ，是${\displaystyle \scriptstyle \Delta t}$ 趨近於零時的瞬時失效率：

${\displaystyle h(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {R(t)-R(t+\Delta t)}{\Delta t\cdot R(t)}}.}$ 

連續的失效率和失效分佈${\displaystyle \scriptstyle F(t)}$ 有關，失效分佈是描述失效機率的累积分布函数：

${\displaystyle \operatorname {Pr} (T\leq t)=F(t)=1-R(t),\quad t\geq 0.\!}$ 

其中${\displaystyle {T}}$ 失效時間。

失效分佈函數是機率密度函數f(t)的積分

${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau .\!}$ 

風險函數可以定義為

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{1-F(t)}}={\frac {f(t)}{R(t)}}.}$ 

許多機率分佈可以用來做為失效分佈的建模，常見的模型是指數失效分佈：

${\displaystyle F(t)=\int _{0}^{t}\lambda e^{-\lambda \tau }\,d\tau =1-e^{-\lambda t},\!}$ 

是以指數分佈為基礎的失效分佈，風險函數為：

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{R(t)}}={\frac {\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}}=\lambda .}$ 

因此對於指數失效分佈，風險函數對時間為定值（分佈為無記憶性（英语：Memorylessness））。但對於像韦伯分布或对数正态分布等其他分佈，風險函數對時間可能不是定值。

失效率遞減

失效率遞減（DFR）是指一零件或系統在一段特定時間內，失效率會隨著時間而減小的現象。像早期失效已被移除或是修正後，就會有一段時間有失效率遞減的情形^[3]，此時的λ(t)為遞減函數。

DFR的隨機變數混合後仍為DFR^[4]，而指数分布的隨機變數混合後也是為DFR^[5]。

應用

失效率遞增是因為零件老化所造成，失效率遞減則是指一個系統會隨著時間而漸漸強化^[5]。 在太空船的生命期中有發現失效率遞減的情形，Baker和Baker的註解是「這太空船會一直一直維持下去。」^[6][7]。太空船空調系統的可靠度發現符合指数分布，因此也會滿足失效率遞減的情形^[5]。

變異係數

當失效率遞減時，其變異係數⩾ 1，當失效率遞增時，其變異係數 ⩽ 1.^[8]，不過這只在失效率是定義在整個t ⩾ 0的時間下才有效^[9]，而且無法由變異係數去反推失效率。

失效率資料

失效率資料可以由許多方式求得，常見的有以下幾種方式：

待確認系統或設備的歷史資料

許多組織都對於生產設備或產品的故障有內部的資料庫，可以用來計算設備或系統的失效率。對於新的設備或是系統，則可以先用類似設備或是系統的失效率做為估計值。

政府或商用的失效率資料庫

政府及商業組織會有許多零件的失效率手冊。MIL-HDBK-217F（電子元件的可靠度預估）是有許多軍用電子零件失效率的軍用規範。也有許多商用的失效率資料庫，主要針對商用的零件，甚至包括一些非電子的元件。

測試

最準確的方式是用實際的設備或是系統進行測試，以得到失效率資料。但此作法常有成本極其高昂或是不可行的缺點，因此會改用上述的作法。

單位

失效率一般會用固定時間（例如小時）下的失效次數表示，不過也可以用其他的單位，像是公里數、旋轉圈數……等來代替固定的時間。

在工程應用上，因為失效率一般很低，個別零件失效率常以PPM表示，也就是每百萬工作小時的失效次數。

失效率也會以菲特（FIT, Failures In Time）表示^[10]，是10⁹設備-小時下（例如一千個零件運轉百萬小時，一百萬個零件運轉一千小時……等）預期的失效次數，一般用在半導體產業中。

菲特和失效間隔時間（MTBF）之間的關係是MTBF = 1,000,000,000 x 1/FIT。

加成性

在一定的工程假設下（例如固定的失效率，以及考慮的系統沒有明顯的冗餘），複雜系統的失效率可以表示為個別元件失效率的和，但各元件的失效率需要有一致的單位，例如每百萬工作小時等。因此可以測試每個別的元件或子系統，將其失效率加總後即可以得到整體的失效率^{[來源請求]}。

舉例

假設要估計特定元件的失效率，可以用以下的測試方式測試其失效率。用十個完全相同的元件測試到損壞或是滿1000小時為止，（此例中不考慮 統計的信賴區間），記錄測試的總時間，以及總共損壞元件的個數，其結果如下：

${\displaystyle {\frac {6{\text{ failures}}}{7502{\text{ hours}}}}=0.0007998{\frac {\text{failures}}{\text{hour}}}=799.8\times 10^{-6}{\frac {\text{failures}}{\text{hour}}},}$ 

或是每百萬工作小時會有799.8次失效。

估計

尼爾森-艾倫估測子（英语：Nelson–Aalen estimator）可以用來估計累積危險率函數。

相關條目

• 年化失效率（英语：Annualized failure rate）
• 燒機
• 失效（英语：Failure）
• 失效原因
• 死亡力（英语：Force of mortality）
• 可靠度
• 可靠度理論（英语：Reliability theory）
• 成功率（英语：Success rate）
• 生存分析
• 韋伯分布

參考資料

1. . [2017-01-25]. （原始内容存档于2021-03-07）. 
2. MacDiarmid, Preston; Morris, Seymour; et al. Reliability Toolkit Commercial Practices. Rome, New York: Reliability Analysis Center and Rome Laboratory. n.d.: 35–39.  引文格式1维护：显式使用等标签 (link)
3. Introduction. Springer, London. 2008: 1–7 [2018-04-02]. ISBN 9781848009851. doi:10.1007/978-1-84800-986-8_1. （原始内容于2018-06-18） （英语）. 
4. Mark Brown. Bounds, Inequalities, and Monotonicity Properties for Some Specialized Renewal Processes. The Annals of Probability. April 1980, 8 (2): 227–240 [2018-04-02]. ISSN 0091-1798. doi:10.1214/aop/1176994773. （原始内容于2018-06-02） （英语）. 
5. Frank Proschan. . Technometrics: 375–383. [2018-04-02]. doi:10.1080/00401706.1963.10490105. （原始内容存档于2022-03-08）. 
6. J. C. BAKER, G. A.SR. BAKER. . Journal of Spacecraft and Rockets: 479–480. [2018-04-02]. doi:10.2514/3.28040. （原始内容存档于2021-10-22）. 
7. On Time, Reliability, and Spacecraft. Wiley-Blackwell. : 1–8 [2018-04-02]. doi:10.1002/9781119994077.ch1 （英语）. 
8. Adam Wierman, Nikhil Bansal, Mor Harchol-Balter. A note on comparing response times in the M/GI/1/FB and M/GI/1/PS queues. Operations Research Letters: 73–76. [2018-04-02]. doi:10.1016/s0167-6377(03)00061-0. （原始内容于2018-06-03）. 
9. Gautam, Natarajan. Analysis of Queues: Methods and Applications. CRC Press. 2012: 703. ISBN 1439806586. 
10. 电子产品制造技术 - 第 25 页 - Google 图书结果. [2014-11-24]. （原始内容于2014-11-29）. 

外部連結

• Bathtub curve issues by ASQC.（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Usenet FAQ about MTBF（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Reliability and Availability Basics（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Product failure behavior and wear out（页面存档备份，存于互联网档案馆）