多解析度分析

多解析度分析（multiresolution analysis, MRA）或是多尺度近似（multiscale approximation, MSA）是最常用來分析離散小波变换〈DWT〉或是驗證快速小波轉換〈FWT〉理論的方法。本分析方法在1989年^[1]及1998年^[2]由Stephane Mallat 著作的論文提到。

定義

L^p空間${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ 的多解析度分析由一系列嵌套子空間組成

${\displaystyle \{0\}\dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset \dots \subset V_{-n}\subset V_{-(n+1)}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$ 

• 取樣定理

  取樣定理主要是在重建一個時間長度${\displaystyle T}$ 中被取樣過的信號：若信號是有限頻寬，只要奈奎斯特頻率（Nyquist frequency）比1/${\displaystyle T}$ 小及可完整重建信號；否則得到的重建信號為近似的信號。因此可以說，愈小的${\displaystyle T}$ 使得信號的重建愈容易，${\displaystyle T}$ 的大小將決定信號解析度，同時，取樣頻率也受到，${\displaystyle T}$ 的限制。

• 概念

  倘若一個信號具有變化速度差異大的區段，像是信號快速變化的區段穿插著變化平緩的區段，則上述單一解析度將不適用於分析信號。因此，多重解析度分析的概念因此而生。將信號在不同解析度上分析。

• 定義

  令${\displaystyle V_{j},j=\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots }$ 為在函數空間${\displaystyle L^{2}(R)}$ 裡的子空間的數列，假如

  1. 分簇性(nested)：${\displaystyle \dots \subset V_{0}\subset V_{1}\subset \dots \subset V_{n}\subset V_{n+1}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$ 
  2. 稠密性(density)：${\displaystyle {\bar {\dots \cup V_{-1}\cup V_{0}\cup V_{1}\cup \dots }}=L^{2}(R)}$ 
  3. 分離性(seperation)：${\displaystyle \dots \cap V_{-1}\cap V_{0}\cap V_{1}\cap \dots ={0}}$ 
  4. 調節性(scaling)：${\displaystyle f(2^{-j}x)\in V_{0}\leftrightarrow f(x)\in V_{j}}$ 
  5. 正規正交基底(orthonormal basis)：${\displaystyle \phi \in V_{0}}$ 且集合${\displaystyle \left\{\phi (x-k),k\in Z\right\}}$ 為${\displaystyle V_{0}}$ 的一正規正交基底。

  則${\displaystyle \left\{V_{j},j\in Z\right\}}$ 為帶有調整函數${\displaystyle \phi }$ 的多解析度分析。

• 應用

  在高頻的時候，使用較細緻的時間解析度及較粗糙的頻率解析度。

  在低頻的時候，使用較細緻的頻率解析度及較粗糙得時間解析度。

  相當適合使用在長時間都是低頻成份，只有在短時間內會有高頻成份的信號

参考文献

1. Mallat, S., "A Theory for Multi-resolution Approximation: the Wavelet Approximation," IEEE Trans. PAMI 11 (1989), 674-693.
2. Mallat, S., "A Wavelet Tour of Signal Processing," Academic Press, San Diego, 1998.

• Albert Boggess, Francis J. Narcowich, "A First Course in Wavelets with Fourier Analysis"