圓柱坐標系

圓柱坐標系（英語：cylindrical coordinate system）是一種三維坐標系統。它是二維極坐標系往 z-軸的延伸。添加的第三個坐標 ${\displaystyle z}$ 專門用來表示 P 點離 xy-平面的高低。按照國際標準化組織建立的約定 (ISO 31-11) ，徑向距離、方位角、高度，分別標記為 ${\displaystyle (\rho ,\ \phi ,\ z)}$ 。

用圓柱坐標 ${\displaystyle (\rho ,\ \phi ,\ z)}$ 來表示一個點的位置

定義

 

圓柱坐標 ${\displaystyle (\rho ,\ \phi ,\ z)}$  的坐標曲面。紅色圓柱面的 ${\displaystyle \rho =2}$  。藍色平面的 ${\displaystyle z=1}$  。黃色半平面的 ${\displaystyle \phi =-60^{\circ }}$  。 z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑球表示）。點 P 的直角坐標大約為 ${\displaystyle (1.0,\ -1.732,\ 1.0)}$  。

如圖右，P 點的圓柱坐標是 ${\displaystyle (\rho ,\ \phi ,\ z)}$  。

• ${\displaystyle \rho }$  是 P 點與 z-軸的垂直距離。
• ${\displaystyle \phi }$  是線 OP 在 xy-面的投影線與正 x-軸之間的夾角。
• ${\displaystyle z}$  與直角坐標的 ${\displaystyle z}$  等值。

符號約定

圓柱坐標系的記號並不統一。ISO標準31-11推薦(ρ, φ, z)，這裡的ρ是徑向距離，φ是方位角，而z是高度。但是，徑向距離也常表示為r或s，方位角也常表示為θ或t，高度坐標也常表示為h或x(如果圓柱軸被認為是水平的）或任何特定於上下文的字母。

坐標系變換

三維空間裏，有許多各種各樣的坐標系。圓柱坐標系只是其中一種。圓柱坐標系與其他坐標系的變換需要用到特別的方程式。

直角坐標系

更多信息：直角坐標系

使用以下方程式，可以從直角坐標變換為圓柱坐標：

${\displaystyle {\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$  、

${\displaystyle {\phi }=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}$  、

${\displaystyle z=z}$  。

特別注意，當求取方位角時，必須依照 ${\displaystyle (x,\ y)}$  所處的象限來計算正確的反正切值。

相反地, 可以從圓柱坐標變換為直角坐標：

${\displaystyle x=\rho \cos \phi }$  、

${\displaystyle y=\rho \sin \phi }$  、

${\displaystyle z=z}$  。

球坐標系

 

用球坐標 ${\displaystyle (r,\ \theta ,\ \phi )}$  來表示一個點的位置

更多信息：球坐標系

使用以下方程式，可以從球坐標變換為圓柱坐標：

${\displaystyle \rho =r\sin \theta }$ 、

${\displaystyle \phi =\phi }$  、

${\displaystyle z=r\cos \theta }$  。

相反地, 可以從圓柱坐標變換為球坐標：

${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}$  、

${\displaystyle \theta =\arctan {\frac {\rho }{z}}}$  、

${\displaystyle \phi =\phi }$  。

圆柱坐标系下的微积分公式

圓柱坐標系的坐標因子分別為

${\displaystyle h_{\rho }=1}$  、

${\displaystyle h_{\phi }=\rho }$  、

${\displaystyle h_{z}=1}$  。

 

在許多關於圓柱坐標系的問題中，我們時常需要知道線元素與體積元素的方程式；用這些方程式來求解關於徑長或體積的積分問題。線元素是

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,\mathbf {\hat {z}} }$  。

面積元素是

${\displaystyle \mathrm {d} S=\rho \,d\varphi \,dz}$  。

體積元素是

${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z}$  。

劈形算符表示為

${\displaystyle \nabla ={\boldsymbol {\hat {\rho }}}{\frac {\partial }{\partial \rho }}+{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\mathbf {\hat {z}} {\frac {\partial }{\partial z}}}$  。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial \Phi \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}\Phi \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}\Phi \over \partial z^{2}}}$  。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$  ， ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$  ，都可以用 ${\displaystyle (\rho ,\ \phi ,\ z)}$  坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用

圓柱坐標常被用來分析，選用 z-軸為對稱軸，有軸對稱特性的物體。例如，一個無限長的圓柱，具有直角坐標方程式 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}}$ ；用圓柱坐標來表示，有一個非常簡易的方程式 ${\displaystyle \rho =c}$ 。這也是圓柱坐標系名稱的由來。

参见

• 在圆柱和球坐标系中的del

參閱