吉巴德-萨特斯维特定理

在社会选择理论中吉巴德-萨特斯维特定理（英語：Gibbard–Satterthwaite theorem）是哲学家艾伦·吉巴德于1973年^[1]以及经济学家马克·萨特斯维特于1975年分别发表的研究成果。^[2]这是处理关于排序投票时用到的定理，这个定理指出，对于任何一个投票规则，必须满足以下三点中的一种：

1. 规则必须是独裁的，存在一个参与者能够决定最终的结果
2. 只存在两种选择
3. 会遇到策略性投票，导致选民无法更好的表达自己的观点

虽然吉巴德-萨特斯维特定理只适用于排序投票，但是吉巴德定理更具有普适性，因为后者还能用于处理非排序投票的集体决策问题。

非正式叙述

假设三个名为爱丽丝、鲍勃和卡罗尔的选民，他们希望从名为${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 、${\displaystyle c}$  和${\displaystyle d}$ 的四名候选人中选出一名获胜者。假设他们使用 波达计数法，每个选民都表示其对候选人的偏好顺序。 每张选票的第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，最后一名得0分。一旦所有选票都被清点完毕，得分最高的候选人将被宣布为获胜者。

假设他们的偏好如下：

投票人	第一名	第二名	第三名	第四名
爱丽丝	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle d}$
鲍勃	${\displaystyle c}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle a}$
卡罗尔	${\displaystyle c}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle a}$

如果所有的投票人都诚实的给出了自己心目中的排序，这些候选人的最终得分将会为${\displaystyle (a:3,b:6,c:7,d:2)}$ ，候选人${\displaystyle c}$ 将会以7分当选。

投票人	第一名	第二名	第三名	第四名
爱丽丝	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle c}$
鲍勃	${\displaystyle c}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle a}$
卡罗尔	${\displaystyle c}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle a}$

可是如果爱丽丝选择了策略性投票，提升了${\displaystyle b}$ 的顺序，降低了${\displaystyle c}$ 的顺序，那么最终分数将会成为${\displaystyle (a:2,b:7,c:6,d:3)}$ ，这样候选人${\displaystyle b}$ 将会以7票当选。对于爱丽丝而言，由于她对于${\displaystyle c}$ 而言更倾向于${\displaystyle b}$ ，因此这是一个比之前更好的结果。

由此可以看出，波达计数法是可操纵的，在某些情况下，诚实的给出排序并不能最好地捍卫选民的偏好。

吉巴德-萨特斯维特定理指出，每个投票规则都是可操纵的，除非有一位拥有独裁权力的选民，或者只有两种投票选择。

参考文献

1. Gibbard, Allan. Manipulation of voting schemes: A general result. Econometrica. 1973, 41 (4): 587–601. JSTOR 1914083. doi:10.2307/1914083. 
2. Satterthwaite, Mark Allen. Strategy-proofness and Arrow's conditions: Existence and correspondence theorems for voting procedures and social welfare functions. Journal of Economic Theory. April 1975, 10 (2): 187–217. CiteSeerX 10.1.1.471.9842  . doi:10.1016/0022-0531(75)90050-2.