可数选择公理

可数选择公理，指示为${\displaystyle {\text{AC}}_{\omega }}$，是公理化集合论的类似于选择公理的一个公理。它声称非空集合的任何可数搜集都一定有选择函数。保羅·寇恩证明了AC_ω在Zermelo-Fraenkel集合论（${\displaystyle {\text{ZF}}}$）中是不可证明的。

${\displaystyle {\text{ZF}}+{\text{AC}}_{\omega }}$足够证明可数多可数集合的并集是可数的。它还足够证明所有无限集合都是戴德金无限的（等价的说：有可数无限的真子集）。${\displaystyle {\text{AC}}_{\omega }}$对于开发数学分析特别有用，这里的很多结果依赖于实数的可数集合有选择函数（考虑为有理数的柯西序列的集合）。

${\displaystyle {\text{AC}}_{\omega }}$是弱形式的选择公理（AC），它声称非空集合的“所有”搜集一定有一个选择函数。AC明确的蕴涵了依赖选择公理（DC），而DC足够证明${\displaystyle {\text{AC}}_{\omega }}$。但是${\displaystyle {\text{AC}}_{\omega }}$要严格弱于DC（而DC严格弱于AC）。

用法

作为应用${\displaystyle {\text{AC}}_{\omega }}$ 的例子，下面是所有无限集合是戴德金无限的一个证明（在${\displaystyle {\text{ZF}}+{\text{AC}}_{\omega }}$ 中）：

设${\displaystyle X}$ 是无限的。对于每个自然数${\displaystyle n}$ ，设${\displaystyle A_{n}}$ 是${\displaystyle X}$ 的所有${\displaystyle 2^{n}}$ 元素子集的集合。因为${\displaystyle X}$ 是无限的，每个${\displaystyle A_{n}}$ 是非空的。對序列${\displaystyle A_{n}}$ 应用${\displaystyle {\text{AC}}_{\omega }}$ ，便得到了序列（${\displaystyle B_{n}:n=0,1,2,3,\ldots }$ )，这里的每个${\displaystyle B_{n}}$ 是有${\displaystyle 2^{n}}$ 个元素的${\displaystyle X}$ 的子集。

集合${\displaystyle B_{n}}$ 可能是相交的，但是我们可以定义

${\displaystyle C_{0}=B_{0}}$ 

${\displaystyle C_{n}}$ 是${\displaystyle B_{n}}$ 与所有${\displaystyle C_{j}}$ 的并集的差集，${\displaystyle j<n}$ 。

明显的每个集合${\displaystyle C_{n}}$ 都有至少1個和至多${\displaystyle 2^{n}}$ 个元素，而集合${\displaystyle C_{n}}$ 是兩兩不相交的。再對序列${\displaystyle C_{n}}$ 應用${\displaystyle {\text{AC}}_{\omega }}$ ，便得到了序列${\displaystyle (c_{n}:n=0,1,2,\ldots )}$ ，其中${\displaystyle c_{n}\in C_{n}}$ 。

所以所有${\displaystyle c_{n}}$ 都是相異的，而${\displaystyle X}$ 包含一个可数集合。定義把每个${\displaystyle c_{n}}$ 映射到${\displaystyle c_{n+1}}$ 的函数${\displaystyle f}$ （并固定所有${\displaystyle X}$ 的其他元素），f是从${\displaystyle X}$ 到${\displaystyle X}$ 的一一映射，它不是满射，这证明了${\displaystyle X}$ 是戴德金无限的。

参见

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